Nilai eigen dan vektor eigen menggambarkan arah matriks yang tidak berubah (selain penskalaan) — sebuah konsep yang muncul di mana saja mulai dari analisis getaran dan mekanika kuantum hingga algoritme PageRank Google dan analisis komponen utama dalam statistik. Kalkulator ini menyelesaikan keduanya secara langsung dari matriks 2×2 atau 3×3 yang Anda masukkan, menunjukkan polinomial karakteristik, nilai eigen (nyata atau kompleks), dan vektor eigen satuan untuk masing-masing matriks.
Cara kerja pemecahnya
Kalkulator pertama-tama membuat polinomial karakteristik det(A − λI) dari jejak dan determinan matriks (dan, untuk matriks 3×3, jumlah dari minor utamanya yang berukuran 2×2). Untuk matriks 2×2 polinomial ini adalah kuadrat, diselesaikan langsung dengan rumus kuadrat. Untuk matriks 3×3, matriksnya berbentuk kubik, diselesaikan dengan pemecah kubik teruji yang sama dengan yang digunakan oleh Kalkulator Persamaan Kubik — polinomial karakteristik dari matriks 3×3 mana pun, bagaimanapun juga, hanyalah persamaan kubik dalam λ. Setelah nilai eigen diketahui, kalkulator akan mencari vektor eigen untuk masing-masing vektor dengan cara mereduksi baris (A − λI) untuk mencari vektor bukan nol di ruang nolnya, lalu menskalakan vektor tersebut ke satuan panjang.
Mengapa nilai eigen bisa menjadi rumit — dan apa arti nilai eigen yang berulang
Bahkan matriks yang dibangun seluruhnya dari bilangan real dapat memiliki nilai eigen yang kompleks, setiap kali matriks tersebut memutar ruang dan bukan hanya merentangkannya ke arah tertentu (matriks rotasi 90° pada contoh di atas adalah kasus yang paling rapi). Jika hal ini terjadi, nilai eigen kompleks selalu muncul sebagai pasangan konjugasi, sama seperti akar kompleks polinomial nyata. Secara terpisah, sebuah matriks dapat memiliki nilai eigen berulang — λ yang sama memenuhi persamaan karakteristik lebih dari satu kali. Jika ruang eigen nilai eigen tersebut (kumpulan semua vektor eigennya) memiliki lebar dimensi yang sama persis dengan jumlah pengulangan, matriks tersebut masih dapat didiagonalisasi. Jika ruang eigen lebih sempit — hanya satu arah independen meskipun nilai eigen berulang dua atau tiga kali — matriks disebut cacat, dan garis interpretasi kalkulator menandai kasus ini secara khusus.
Dimana hal ini muncul dalam praktiknya
Nilai eigen mengukur seberapa besar suatu matriks merentangkan ruang sepanjang arah vektor eigennya, itulah sebabnya nilai eigen muncul dalam berbagai macam aplikasi: frekuensi getaran alami suatu struktur adalah nilai eigen dari matriks kekakuannya, perilaku jangka panjang rantai Markov diatur oleh vektor eigen yang dikaitkan dengan nilai eigen terbesarnya, dan analisis komponen utama dalam statistik mengurutkan arah dalam kumpulan data berdasarkan nilai eigen dari matriks kovariansnya. Dalam setiap kasus, pertanyaan mendasar yang sama juga ditanyakan: arah mana yang dianggap "khusus" oleh matriks ini, dan seberapa besar skalanya pada masing-masing arah?