Persamaan kubik, ax³ + bx² + cx + d = 0, selalu memiliki tepat tiga akar setelah Anda menghitung akar berulang dan akar kompleks — namun tidak seperti persamaan kuadrat, Anda tidak selalu dapat melihat sekilas apakah akar-akar tersebut merupakan bilangan real. Anda dapat memplotnya pada grafik atau bilangan kompleks yang hanya ada pada bidang kompleks. Kalkulator ini menyelesaikan ketiga akar secara langsung dan menggunakan diskriminan untuk menjelaskan, dalam bahasa sederhana, jenis akar apa yang Anda lihat.
Cara kerja pemecahnya
Pertama-tama, kalkulator mengganti x = t − b/(3a) untuk menghilangkan suku x², sehingga mengubah kubik umum menjadi kubik "tertekan" yang lebih sederhana t³ + pt + q = 0. Dari sana, jalurnya bergantung pada tanda besaran seperti diskriminan internal yang dibangun dari p dan q: jika negatif, persamaannya memiliki tiga akar real yang berbeda, dan kalkulator menggunakan rumus trigonometri (yang dibangun dari arccos dan cosinus) yang seluruhnya berada dalam real angka. Jika hasilnya positif, persamaan tersebut memiliki satu akar real dan pasangan konjugasi kompleks, dan kalkulator menggunakan rumus Cardano dengan fungsi akar pangkat tiga yang menangani masukan negatif dengan tepat — menghindari kesalahan pemilihan cabang yang membuat implementasi naif rumus Cardano dalam kasus ini tersandung. Jika nilainya nol (atau sangat dekat dengannya), persamaan tersebut memiliki akar real berulang, yang dideteksi oleh kalkulator dan diberi label sebagai akar ganda atau akar rangkap tiga.
Membaca diskriminan
Diskriminan, Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d², dihitung langsung dari empat koefisien — tidak perlu menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu. Tandanya saja sudah menunjukkan sifat akar-akarnya: Δ > 0 berarti tiga akar nyata yang berbeda (grafik persamaan tersebut memotong sumbu x tiga kali secara terpisah); Δ = 0 berarti paling sedikit dua akarnya berimpit (grafik menyentuh sumbu x tanpa berpotongan pada titik tersebut); Δ < 0 berarti hanya satu akar yang nyata dan dua akar lainnya membentuk pasangan konjugasi kompleks (grafik memotong sumbu x tepat satu kali). Hal ini mencerminkan diskriminan b² − 4ac yang lebih umum dari rumus kuadrat, yang diperluas ke satu derajat lagi.
Mengapa akar kompleks selalu berpasangan, dan apa artinya a = 0
Setiap kali persamaan kubik mempunyai koefisien real (a, b, c, dan d adalah bilangan real biasa, bukan bilangan kompleks), semua akar kompleks yang dimiliki persamaan tersebut dijamin muncul dalam pasangan konjugasi — a + bi dan a − bi — karena bagian imajiner harus dihilangkan agar polinomial dapat dievaluasi menjadi persamaan koefisien real. Itu sebabnya kalkulator ini, dan setiap pemecah kubik yang benar, hanya melaporkan 0 atau 2 akar kompleks, tidak pernah 1. Secara terpisah, jika Anda memasukkan a = 0, suku x³ akan hilang dan persamaan tersebut bukan lagi kubik yang sebenarnya — persamaannya adalah kuadrat, bx² + cx + d = 0, sehingga kalkulator secara otomatis kembali ke rumus kuadrat (dan selanjutnya ke pemecah linier jika b juga 0) daripada membaginya dengan nol.