Bilangan kompleks memanjangkan garis bilangan real dengan sumbu kedua yang tegak lurus untuk kelipatan i, satuan imajiner dengan i² = −1. Panduan ini membahas empat operasi aritmatika, mengapa konjugat memungkinkan pembagian, bagaimana modulus dan argumen menggambarkan bentuk kutub bilangan kompleks, dan bagaimana teorema De Moivre mengubah pangkat dan akar menjadi aritmatika sudut sederhana.
Mengapa saya ada, dan apa arti a + bi
Bilangan real saja tidak dapat menyelesaikan persamaan seperti x² = −1, karena mengkuadratkan bilangan real apa pun akan memberikan hasil non-negatif. Matematikawan menyelesaikan masalah ini dengan mendefinisikan bilangan baru, i, dengan properti i² = −1. Bilangan kompleks a + bi kemudian menggabungkan bagian real biasa a dengan bagian imajiner b, kelipatan i.
Secara geometris, setiap bilangan kompleks berhubungan dengan sebuah titik (a, b) pada bidang dua dimensi — bagian nyata sepanjang sumbu horizontal, bagian imajiner sepanjang sumbu vertikal. Ini disebut bidang Argand (atau bidang kompleks), dan mengubah aljabar pada bilangan kompleks menjadi geometri: penjumlahan menjadi penjumlahan vektor, dan perkalian menjadi penskalaan-plus-rotasi.
Aritmatika: menambah, mengurangi, mengalikan, membagi
Penjumlahan dan pengurangan bekerja berdasarkan komponen — gabungkan bagian nyata, lalu bagian imajiner, tanpa interaksi di antara keduanya. Perkalian adalah perluasan FOIL yang diikuti dengan penyederhanaan dengan i² = −1: suku silang menjadi bagian imajiner baru, dan suku i·i membalik tanda menjadi bagian nyata.
Pembagian adalah salah satu operasi yang memerlukan trik: Anda tidak dapat merasionalkan penyebut kompleks seperti Anda mengalikan akar kuadrat, jadi Anda mengalikan atas dan bawah dengan konjugat penyebutnya. Karena z·conj(z) = |z|², penyebutnya menjadi bilangan real biasa, dan pembagiannya tereduksi menjadi dua pembagian real biasa. Membagi dengan 0 + 0i tidak terdefinisi karena alasan yang sama membagi dengan 0 tidak terdefinisi pada garis sebenarnya — kalkulator ini menandainya secara eksplisit daripada menampilkan hasil yang rusak.
Modulus, argumen, dan bentuk polar
Setiap bilangan kompleks memiliki dua deskripsi yang berguna selain a + bi. Modul |z| = √(a² + b²) adalah jaraknya dari titik asal — secara harfiah teorema Pythagoras diterapkan pada titik (a, b). Argumen adalah sudut yang dibuat titik dengan sumbu real positif, dihitung dengan atan2(b, a) sehingga setiap kuadran (dan sumbu) diselesaikan dengan benar dan tidak dibagi dengan nol.
Bersama-sama, modulus dan argumen menghasilkan bentuk kutub r∠θ — cara yang setara untuk menulis bilangan yang sama. Bentuk polar sering kali lebih mudah digunakan dibandingkan a + bi: mengalikan dua bilangan kompleks dalam bentuk polar hanya akan mengalikan modulusnya dan menambahkan argumennya, yang jauh lebih sederhana dibandingkan ekspansi FOIL dalam bentuk persegi panjang.
Teorema De Moivre: pangkat dan akar menjadi sederhana
Mengalikan bilangan kompleks dengan bilangan itu sendiri secara berulang-ulang biasanya berarti perluasan FOIL yang berulang. Teorema De Moivre menyingkatnya: dalam bentuk polar, z^n = r^n(cos nθ + i sin nθ) — naikkan modulus ke pangkat ke-n dan kalikan argumennya dengan n. Mengkuadratkan 1 + i (modulus √2, argumen 45°) dengan cara ini menghasilkan modulus 2 dan argumen 90°, yaitu 2i, mencocokkan ekspansi langsung.
Menemukan akar ke-n akan membalikkan prosesnya, dengan twist: karena sudut berulang setiap 2π (360°), terdapat tepat n akar berbeda, yang berjarak sama di sekitar lingkaran berjari-jari r^(1/n). Masing-masing memenuhi root^n = z. Inilah sebabnya, misalnya, persamaan x³ = 1 memiliki tiga solusi kompleks, bukan hanya satu — akar real 1, ditambah dua akar kompleks yang simetris pada sumbu real.