Calculez la période, la fréquence, la position, la vitesse et l’accélération du mouvement harmonique simple d’un système masse-ressort.
Mass-spring system
Masse attachée au ressort, en kilogrammes (kg).
Raideur du ressort, en newtons par mètre (N/m).
Déplacement maximal par rapport à l’équilibre, en mètres (m).
Position, velocity & acceleration at time t
Temps écoulé depuis le déplacement maximal, en secondes (s).
Maximum speed and maximum acceleration occur as the mass passes through — and momentarily reverses at — the extremes of its swing. Both are calculated from the mass, spring constant, and amplitude entered above; no additional input is needed.
Résultat
—
Enter values above to compute.
4 min de lecture3 étapes7 termes3 exemples6 questionsω = √(k / m)
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Décrire le système masse-ressort
Saisissez la masse attachée au ressort en kilogrammes, la constante de raideur du ressort en newtons par mètre et l’amplitude de l’oscillation en mètres. Ces trois valeurs définissent entièrement le mouvement ; la période et la fréquence s’actualisent dès la saisie.
2
Lire la période et la fréquence
La carte de résultat affiche toujours la période (durée d’un cycle complet d’aller-retour) et la fréquence (nombre de cycles par seconde). Elles dépendent uniquement de la masse et de la constante du ressort, jamais de l’amplitude.
3
Afficher la position, la vitesse ou les valeurs maximales
Dans l’onglet Position/Vitesse, saisissez un instant précis pour connaître la position de la masse, sa vitesse et son accélération à cet instant. L’onglet Valeurs maximales indique la vitesse et l’accélération de pointe atteintes pendant l’oscillation.
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Référence
Formule et méthodologie
4 formules▸
Pulsation
ω = √(k / m)
La pulsation ω (en radians par seconde) dépend uniquement de la constante de raideur k (N/m) et de la masse m (kg). Un ressort plus raide ou une masse plus légère augmente ω et accélère l’oscillation.
Période et fréquence
T = 2π / ω, f = 1 / T
La période T (en secondes) est la durée d’un cycle complet. La fréquence f (Hz) est le nombre de cycles par seconde. Ni l’une ni l’autre ne dépend de l’amplitude : un système masse-ressort met le même temps à effectuer une oscillation, quelle que soit son amplitude initiale.
Si la masse est lâchée sans vitesse initiale à son déplacement maximal (t = 0), sa position x, sa vitesse v et son accélération a varient toutes de façon sinusoïdale au cours du temps, chacune déphasée de 90° par rapport à la précédente.
Vitesse et accélération maximales
v_max = Aω, a_max = Aω²
La masse se déplace le plus vite lorsqu’elle passe par le point d’équilibre (v_max) et subit sa plus forte accélération aux extrémités de son oscillation, où elle inverse momentanément son sens de mouvement (a_max).
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Mouvement harmonique simpleMouvement oscillatoire dans lequel la force de rappel est directement proportionnelle au déplacement par rapport à l’équilibre et dirigée vers celui-ci, ce qui produit au cours du temps un mouvement sinusoïdal régulier et répétitif.
PulsationNotée ω, vitesse de variation de l’angle de phase de l’oscillation, mesurée en radians par seconde. Elle détermine la rapidité des cycles et vaut √(k/m) pour un système masse-ressort.
PériodeDurée, en secondes, nécessaire à la masse oscillante pour effectuer un cycle complet : du déplacement maximal, en passant par l’équilibre jusqu’à l’extrémité opposée, puis au point de départ.
AmplitudeDéplacement maximal de la masse par rapport à sa position d’équilibre (au repos), mesuré en mètres. Une amplitude plus grande élargit l’oscillation, sans modifier la période.
PhaseArgument ωt des fonctions cosinus et sinus, qui indique où se trouve le système dans son cycle oscillatoire. Il augmente linéairement avec le temps, au rythme de ω radians par seconde.
Force de rappelForce qui tend toujours à ramener la masse vers l’équilibre. Pour un ressort, elle obéit à la loi de Hooke, F = -kx ; sa proportionnalité au déplacement donne au mouvement son caractère harmonique simple.
OscillationMouvement répété d’aller-retour autour d’un point d’équilibre central. Le mouvement harmonique simple est le modèle mathématique d’oscillation le plus simple et le plus courant en physique.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Étudiant en physique
Ressort de laboratoire standard
Masse (m) 0.5 kgConstante du ressort (k) 200 N/m
Avec ω = √(200 / 0.5) = 20 rad/s, on obtient une période T = 2π/20 ≈ 0.314 s et une fréquence f ≈ 3.18 Hz. La constante du ressort est le paramètre qui influe le plus sur le résultat : doubler k réduit la période d’un facteur √2, tandis que doubler la masse l’augmente du même facteur.
🎯
Enseignant
Vitesse et accélération maximales
Amplitude (A) 0.1 mPulsation (ω) 20 rad/s
Avec vmax = Aω = 0.1 × 20 = 2 m/s et amax = Aω² = 0.1 × 400 = 40 m/s², la masse atteint 2 m/s lorsqu’elle passe par l’équilibre et subit une accélération de 40 m/s² à chaque extrémité de son oscillation de 0.1 m.
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Vérification d’un exercice
Position à un instant donné
Temps (t) 0.05 sω, A (ci-dessus) 20 rad/s, 0.1 m
À t = 0.05 s, ωt = 1 radian, donc x = 0.1·cos(1) ≈ 0.054 m : la masse a parcouru un peu plus de la moitié du chemin vers l’équilibre depuis l’extrémité de départ. La vitesse et l’accélération suivent alors les termes sinus et cosinus correspondants à cette même phase.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
APA
MLA
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Analyse approfondie
Comprendre le calculateur de mouvement harmonique simple
Le mouvement harmonique simple (MHS) décrit le mouvement régulier et répétitif d’une masse fixée à un ressort, d’un pendule oscillant à faible angle ou de tout système où la force de rappel est directement proportionnelle au déplacement. Ce calculateur modélise le cas classique masse-ressort et utilise trois paramètres physiques — masse, constante du ressort et amplitude — pour décrire le mouvement du système au cours du temps.
Fonctionnement du calculateur de mouvement harmonique simple
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Le calculateur part de la deuxième loi de Newton appliquée à un ressort qui obéit à la loi de Hooke, F = -kx. La résolution de cette équation différentielle montre que la masse oscille avec une pulsation ω = √(k/m), indépendamment de l’amplitude de son déplacement initial. On en déduit directement la période T = 2π/ω et la fréquence f = 1/T. Si la masse est lâchée sans vitesse initiale à son déplacement maximal, sa position à tout instant ultérieur est x(t) = A·cos(ωt) ; la vitesse et l’accélération s’obtiennent en dérivant cette expression une et deux fois, respectivement.
Entrées et signification
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La masse (m) et la constante du ressort (k) déterminent ensemble le rythme de l’oscillation, c’est-à-dire sa rapidité, par ω = √(k/m). L’amplitude (A) détermine l’étendue du mouvement, soit la distance parcourue par la masse, mais n’a aucun effet sur la période ni sur la fréquence, propriété caractéristique du mouvement harmonique simple. Le temps (t), utilisé uniquement dans l’onglet Position/Vitesse, permet d’observer le mouvement à un instant précis et de connaître la position et le mouvement de la masse.
Limites et cas particuliers
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Ce modèle suppose un ressort idéal, sans masse, sans frottement ni résistance de l’air ; l’amplitude ne diminue donc jamais. Les systèmes réels perdent de l’énergie et leur mouvement est techniquement amorti. Le modèle suppose également que la masse est lâchée sans vitesse initiale à son déplacement maximal (t = 0 à l’extrémité de l’amplitude). Si votre système commence à un autre point du cycle, les valeurs de position, de vitesse et d’accélération seront déphasées par rapport à celles présentées ici, mais la période et la fréquence resteront inchangées.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule du mouvement harmonique simple ?+
La pulsation est ω = √(k/m), où k est la constante du ressort et m la masse. La position au cours du temps suit x(t) = A·cos(ωt), où A est l’amplitude. Cette même pulsation ω détermine la période ainsi que les équations de position, de vitesse et d’accélération.
Comment calculer la période d’un mouvement harmonique simple ?+
Une fois la pulsation ω connue, la période vaut T = 2π/ω. Pour un système masse-ressort, cela donne T = 2π√(m/k). Une masse plus lourde ou un ressort plus souple (k plus faible) augmente la période et ralentit l’oscillation.
Quelle est la vitesse maximale en mouvement harmonique simple ?+
La vitesse maximale est vmax = Aω ; elle est atteinte lorsque la masse passe par la position d’équilibre. Elle est directement proportionnelle à l’amplitude et à la pulsation : doubler l’une ou l’autre double la vitesse de pointe.
Quelle est l’accélération maximale en mouvement harmonique simple ?+
L’accélération maximale est amax = Aω² ; elle est atteinte aux deux extrémités de l’oscillation, lorsque la masse s’arrête brièvement avant de repartir dans l’autre sens. Comme elle varie avec ω², un ressort plus raide ou une masse plus légère accroît l’accélération de pointe beaucoup plus rapidement que la vitesse de pointe.
L’amplitude influe-t-elle sur la période du mouvement harmonique simple ?+
Non. Dans un mouvement harmonique simple idéal, la période dépend uniquement de la masse et de la constante du ressort (T = 2π√(m/k)). Une oscillation de grande amplitude et une autre de faible amplitude prennent exactement le même temps pour effectuer un cycle dans un même système.
En quoi un pendule diffère-t-il d’un oscillateur masse-ressort ?+
Un pendule simple oscillant à faible angle présente lui aussi un mouvement harmonique simple, mais sa pulsation dépend de la gravité et de sa longueur (ω = √(g/L)), et non de la constante d’un ressort et de la masse. Utilisez le calculateur de pendule dédié à ce système : le modèle sinusoïdal sous-jacent est le même, seule la formule de ω change.
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