Un pendule oscillant semble dépendre du poids de sa masse, mais ce n’est pas le cas : dans l’approximation des petits angles, la période dépend uniquement de la longueur du pendule et de l’intensité locale de la gravité. Ce calculateur applique T = 2π√(L/g) pour déterminer la période et la fréquence, et inverse la formule pour trouver la longueur adaptée à une durée d’oscillation donnée.
Fonctionnement du calculateur de pendule
Le calculateur applique la formule classique de la période aux petits angles T = 2π√(L/g), où L est la distance entre le pivot et le centre de masse du poids et g l’accélération gravitationnelle locale. À partir de la période, il déduit la fréquence (f = 1/T) et la pulsation (ω = 2π/T). L’onglet Déterminer la longueur réarrange la même formule pour trouver la longueur qui correspond à une période cible.
Il s’agit de l’approximation des petits angles : elle suppose une amplitude assez faible (environ moins de 15°) pour que sin θ ≈ θ en radians. Le mouvement réel, non linéaire, est alors assimilé à un mouvement harmonique simple dont la période s’exprime exactement par une formule fermée. Pour les oscillations courantes — horloge comtoise, métronome ou lampe suspendue — cette approximation est très précise.
Pourquoi la masse n’a pas d’effet
Cela peut sembler contre-intuitif, mais une boule de bowling et une balle de tennis suspendues à des fils de même longueur oscillent exactement au même rythme. La force de rappel (la gravité qui agit sur le poids) et son inertie (sa résistance à l’accélération) varient toutes deux de la même façon avec la masse ; celle-ci s’élimine donc entièrement de l’équation du mouvement. On attribue à Galilée la première observation de cette isochronie : il aurait comparé le mouvement de lustres oscillants à son propre pouls.
En revanche, la longueur et la gravité comptent. Comme la période varie avec la racine carrée de la longueur, doubler celle-ci ne double pas la période : elle est multipliée par √2 ≈ 1.41. Il faut quadrupler la longueur pour doubler la période, comme le montrent les exemples ci-dessus.
La gravité change tout — onglet Gravité
Comme g se trouve au dénominateur sous la racine carrée, une gravité locale plus faible allonge la période. Le même pendule de 1 m qui oscille en environ 2 secondes sur Terre (g = 9.81 m/s²) met presque 5 secondes sur la Lune (g = 1.62 m/s²), tandis qu’il descend à environ 0.38 seconde près de la surface du Soleil (g ≈ 274 m/s²). L’onglet Gravité maintient la longueur fixe et compare côte à côte la période obtenue sur plusieurs astres ; c’est aussi un moyen pratique de vérifier un exercice de physique sur l’accélération gravitationnelle.
Limites et cas particuliers
La formule T = 2π√(L/g) n’est exacte que dans la limite des petits angles. Lorsque l’amplitude dépasse environ 15 à 20°, la période réelle devient légèrement plus longue que celle prédite par cette formule ; l’écart augmente sans limite à mesure que l’amplitude approche 180°. Ce calculateur ne modélise ni les corrections des grandes amplitudes, ni la résistance de l’air, ni le moment d’inertie d’un pendule physique (étendu, et non ponctuel) ; tous ces facteurs font varier la période réelle par rapport à celle du pendule simple idéal.
Le calculateur traite proprement les cas limites : une longueur ou une gravité nulle ou négative est rejetée au lieu de produire un résultat NaN ou infini, car la racine carrée et la division ne sont alors pas définies. Le calcul inverse de la longueur rejette également toute période cible non positive.