Calculez le moment d’inertie de formes courantes (masse ponctuelle, tige, disque, sphère, cerceau et cylindre) autour de leurs axes standards, ainsi qu’avec le théorème des axes parallèles.
Inputs
kg
Masse totale de l’objet.
m
Distance entre l’axe de rotation et la masse, ou rayon/longueur caractéristique de l’objet.
Moment d’inertie
—
Choose a shape and enter mass and radius/length above.
Inputs
kg
Masse totale de l’objet.
m
Utilisée pour calculer Icm de la forme sélectionnée autour de son axe passant par le centre de masse.
m
Distance entre l’axe passant par le centre de masse et le nouvel axe de rotation parallèle.
Moment d’inertie (axe décalé)
—
Enter mass, radius/length, and axis offset above.
Inputs
kg
Appliquée à chacune des formes ci-dessous.
m
Utilisée comme rayon pour les disques, sphères, cerceaux et masses ponctuelles, et comme longueur pour les tiges, afin de comparer chaque forme à masse et dimension caractéristiques identiques.
Influence de la forme sur I
—
Enter mass and radius/length above to compare all eight shapes.
4 min de lecture3 étapes7 termes3 exemples6 questionsI = m r^2
Le moment d’inertie (I) indique à quel point il est difficile d’accélérer ou de ralentir la rotation d’un objet, comme la masse ordinaire indique la difficulté à accélérer ou ralentir un mouvement rectiligne.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Choisissez une forme et saisissez la masse et le rayon ou la longueur
Dans l’onglet Par forme, choisissez la forme de l’objet — masse ponctuelle, tige, disque, sphère, anneau ou cylindre — puis saisissez sa masse et son rayon ou sa longueur caractéristique.
2
Consultez le moment d’inertie
La carte de résultat affiche I en kg·m² ainsi que la formule exacte utilisée, afin de voir quels nombres déterminent le résultat.
3
Décalez l’axe ou comparez les formes
Passez à l’onglet Axe parallèle pour décaler l’axe de rotation par rapport au centre, ou à Comparer pour voir comment I varie entre les huit formes à masse et rayon identiques.
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Référence
Formule et méthodologie
7 formules▸
Masse ponctuelle
I = m r^2
Une masse m située à une distance fixe r de l’axe. La formule de chaque autre forme s’obtient en additionnant cette expression sur toute sa répartition de masse.
Tige mince
I = (1/12) m L^2 (about center) | I = (1/3) m L^2 (about end)
Une tige homogène de longueur L et de masse m présente un moment d’inertie quatre fois plus grand autour d’une extrémité qu’autour de son centre, car davantage de masse se trouve loin de l’axe en bout de tige.
Disque ou cylindre plein
I = (1/2) m r^2
Disque ou cylindre homogène de rayon r tournant autour de son axe de symétrie central. La masse est répartie du centre jusqu’au rayon r, plutôt que concentrée sur le bord.
Sphère pleine
I = (2/5) m r^2
Sphère pleine homogène de rayon r tournant autour de son centre. La majeure partie de sa masse se trouve plus près de l’axe que celle d’un disque, d’où un coefficient plus faible.
Sphère creuse (coque mince)
I = (2/3) m r^2
Coque sphérique mince de rayon r, dont la masse se trouve presque entièrement à une distance r du centre. Elle résiste donc davantage à la rotation qu’une sphère pleine de même masse.
Cerceau ou anneau mince
I = m r^2
Anneau mince de rayon r dont toute la masse est concentrée sur le bord : à masse et rayon donnés, son coefficient est le plus élevé de toutes les formes.
Théorème des axes parallèles
I = I_cm + m d^2
Le moment d’inertie autour d’un axe parallèle à celui qui passe par le centre de masse vaut I_cm plus m multiplié par le carré de la distance d entre les deux axes.
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Moment d’inertie (I)Mesure de la résistance d’un objet à une variation de sa vitesse de rotation, en kg·m². Il joue pour la rotation le même rôle que la masse pour le mouvement rectiligne.
Inertie de rotationAutre nom du moment d’inertie : résistance d’un corps en rotation à une variation de sa vitesse angulaire lorsqu’un couple est appliqué.
Axe de rotationDroite imaginaire autour de laquelle un objet tourne. Un même objet possède un moment d’inertie différent pour chaque axe choisi.
Théorème des axes parallèlesFormule simplifiée, I = I_cm + m d², qui permet de calculer I autour de tout axe parallèle à l’axe passant par le centre de masse, sans devoir refaire l’intégrale depuis le début.
Rayon de girationDistance k à l’axe où l’on pourrait concentrer toute la masse d’un objet pour obtenir le même I, défini par I = m k^2.
Répartition de la masseManière dont la masse d’un objet est répartie par rapport à l’axe de rotation. Deux objets de même masse et de même rayon extérieur peuvent avoir des I très différents si leur masse se trouve plus près ou plus loin de l’axe.
Accélération angulaireVariation de la vitesse angulaire, reliée au couple et au moment d’inertie par τ = I α — l’équivalent en rotation de F = m a.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Étudiant en physique
Disque plein sur une table tournante
Forme Disque pleinMasse 2 kgRayon 0.5 m
I = (1/2)(2)(0.5)^2 = 0.25 kg·m². Comme la masse du disque est répartie du centre vers l’extérieur plutôt que concentrée sur le bord, il résiste moins à l’accélération de rotation qu’un cerceau de même masse et de même rayon.
🪐
Amateur d’astronomie
Modéliser une planète comme une sphère pleine
Forme Sphère pleineMasse 5 kg (modèle à l’échelle)Rayon 2 m
I = (2/5)(5)(2)^2 = 8 kg·m². Le coefficient 2/5 est le plus faible parmi les formes courantes, car la masse d’une sphère se trouve en moyenne plus près de son centre que celle d’un disque ou d’une coque.
⚙️
Ingénieur mécanicien
Volant d’inertie décalé de son axe de montage
Forme Disque plein, Icm = 0.25 kg·m²Masse 2 kgDécalage de l’axe (d) 1 m
I = Icm + m d^2 = 0.25 + (2)(1)^2 = 2.25 kg·m². Le décalage de l’axe de rotation de seulement 1 m par rapport au centre a multiplié le moment d’inertie par neuf, ce qui montre que I dépend fortement de la position de l’axe, et pas seulement de la forme.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
Le moment d’inertie (I) indique à quel point il est difficile d’accélérer ou de ralentir la rotation d’un objet, comme la masse ordinaire indique la difficulté à accélérer ou ralentir un mouvement rectiligne. Ce calculateur détermine I pour les sept formes les plus courantes des manuels et montre comment I change lorsque l’axe de rotation est décalé du centre de masse.
Fonctionnement du calculateur de moment d’inertie
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La formule de chaque forme résulte de l’intégration de r² sur chaque élément de masse de l’objet, où r est la distance de cet élément à l’axe. Une masse ponctuelle concentre toute la masse à une seule distance : le cas le plus simple, I = m r². Les formes étendues — tiges, disques, sphères et cerceaux — répartissent la masse sur différentes distances ; leurs formules comportent donc un coefficient fractionnaire (1/12, 1/3, 1/2, 2/5, 2/3 ou 1) qui décrit cette répartition par rapport à r ou L. Il s’agit des résultats classiques de mécanique du solide pour des objets homogènes autour de l’axe indiqué.
Signification des paramètres
▸
La masse (m) est la masse totale de l’objet en kilogrammes. Le rayon ou la longueur (r ou L) correspond à sa dimension caractéristique : le rayon pour les disques, sphères, cerceaux et cylindres, la distance à l’axe pour une masse ponctuelle, ou la longueur totale pour une tige. Dans l’onglet Axe parallèle, le décalage d’axe (d) est la distance entre l’axe passant par le centre de masse de l’objet et le nouvel axe visé. Un décalage plus grand augmente I de m d², quelle que soit la forme de l’objet.
Limites et cas particuliers
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Ces formules supposent une densité uniforme et des formes idéalisées : un volant d’inertie réel avec des rayons, une sphère non homogène ou une tige lestée aux extrémités auront un I différent de celui donné par la formule simplifiée. Le calculateur utilise exclusivement les unités SI (kilogrammes, mètres, kg·m²) ; mélanger les systèmes d’unités produit silencieusement un résultat erroné. Pour calculer l’accélération de rotation produite par un couple une fois I connu, consultez le calculateur de couple et la relation τ = I α.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Que calcule le calculateur de moment d’inertie ?+
Il calcule I, l’équivalent de la masse en rotation, pour une forme choisie (masse ponctuelle, tige, disque, sphère, cerceau ou cylindre) à partir de sa masse et de son rayon ou de sa longueur caractéristique. I s’exprime en kilogrammes-mètres carrés (kg·m²) et indique le couple nécessaire pour modifier la vitesse de rotation de l’objet.
Pourquoi la formule du disque est-elle I = 1/2 m r², contre I = m r² pour le cerceau ?+
Ils ont la même masse et le même rayon, mais le cerceau concentre toute sa masse sur le bord (à la distance r de l’axe), tandis que le disque répartit uniformément sa masse du centre jusqu’à r. Comme le moment d’inertie pondère la masse par le carré de sa distance à l’axe, le cerceau résiste deux fois plus à la rotation que le disque.
Qu’est-ce que le théorème des axes parallèles et quand l’utiliser ?+
Le théorème des axes parallèles, I = I_cm + m d², permet de trouver le moment d’inertie autour d’un axe parallèle à celui qui passe par le centre de masse de l’objet, mais décalé d’une distance d. Il s’utilise lorsque l’axe de rotation réel — charnière, boulon de fixation ou pivot — ne passe pas par le centre de masse de l’objet.
Pourquoi une sphère pleine et une sphère creuse donnent-elles des résultats différents à masse et rayon identiques ?+
La masse d’une sphère pleine est répartie dans tout son volume ; la majeure partie se trouve donc plus près du centre que du rayon extérieur r. Dans une sphère creuse à paroi mince, presque toute la masse se trouve à la distance r. Comme I augmente avec le carré de la distance à l’axe, le coefficient de la sphère creuse (2/3) dépasse celui de la sphère pleine (2/5), même si m et r sont identiques.
Quelles unités le calculateur attend-il ?+
La masse doit être en kilogrammes (kg) et le rayon ou la longueur en mètres (m). Le résultat I est en kilogrammes-mètres carrés (kg·m²), l’unité SI standard du moment d’inertie. Convertissez vos mesures en kg et en m avant de les saisir.
Puis-je partager mes résultats ?+
Oui. Le calculateur encode dans l’URL de la page l’onglet sélectionné, la forme, la masse, le rayon ou la longueur et, dans l’onglet Axe parallèle, le décalage de l’axe. Copiez l’URL ou cliquez sur Partager pour transmettre un scénario précis.
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