Calculez la force de traînée exercée sur une petite sphère en mouvement dans un fluide visqueux, sa vitesse de sédimentation (vitesse terminale), ou résolvez la loi de Stokes pour trouver une variable inconnue : F = 6πµrv.
Sphere and fluid properties
100 µm = 0.0001 m. Stokes' law is only accurate for small, slow spheres.
Force de traînée
—
Enter viscosity, radius, and velocity to compute.
Settling velocity inputs
20 µm = 0.00002 m — a fine silt-sized grain.
Quartz sand ≈ 2650 kg/m³.
Vitesse de sédimentation
—
Enter radius, particle density, fluid density, and viscosity to compute.
Nombre de Reynolds—
La loi de Stokes est-elle valable ?—
Solve for a missing variable
Valeur calculée
—
Choose a variable, set the target drag force, and enter the other two values.
5 min de lecture3 étapes7 termes3 exemples6 questionsF = 6πµrv
En 1851, George Gabriel Stokes a déterminé la force de traînée exercée sur une petite sphère progressant lentement dans un fluide visqueux.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Saisissez les propriétés de la sphère et du fluide
Dans l’onglet « Force de traînée », saisissez le rayon de la sphère (m), la viscosité dynamique du fluide (Pa·s) et la vitesse relative entre la sphère et le fluide (m/s). La carte de résultat s’actualise immédiatement et affiche la force de traînée de Stokes F = 6πµrv.
2
Calculez la vitesse de sédimentation
Passez à l’onglet « Vitesse de sédimentation » et saisissez le rayon de la sphère, la masse volumique des particules, celle du fluide et la viscosité du fluide. Le calculateur renvoie la vitesse terminale (de sédimentation), indique si la particule descend ou remonte et vérifie avec le nombre de Reynolds si la loi de Stokes reste valable à cette vitesse.
3
Calculez une variable inconnue
Dans l’onglet « Résoudre », choisissez la variable inconnue (rayon, viscosité ou vitesse), saisissez la force de traînée cible et les deux autres valeurs. Le calculateur réarrange F = 6πµrv pour trouver la valeur manquante.
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Référence
Formule et méthodologie
3 formules▸
Force de traînée de Stokes
F = 6πµrv
La viscosité dynamique µ (Pa·s) multipliée par 6π, par le rayon r (m) de la sphère et par sa vitesse relative v (m/s) dans le fluide donne la force de traînée F en newtons. La formule ne s’applique qu’à de petites sphères se déplaçant assez lentement pour que l’écoulement autour d’elles reste laminaire.
Vitesse de sédimentation (terminale)
v = 2r²(ρp − ρf)g / (9µ)
Cette formule équilibre la gravité, diminuée de la poussée d’Archimède, et la force de traînée de Stokes. r est le rayon de la sphère (m), ρp et ρf les masses volumiques de la particule et du fluide (kg/m³), g = 9.81 m/s² et µ la viscosité dynamique (Pa·s). Un résultat négatif signifie que la particule est moins dense que le fluide et remonte au lieu de sédimenter.
Condition de validité à faible nombre de Reynolds
Re = ρf·v·(2r)/µ ≪ 1
La loi de Stokes suppose un écoulement rampant (laminaire et à faible Re) autour de la sphère. Ce calculateur détermine Re en prenant le diamètre de la sphère comme longueur caractéristique et signale les résultats où Re dépasse environ 1, seuil au-delà duquel la formule commence à sous-estimer la traînée réelle.
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Loi de StokesFormule décrivant la force de traînée exercée sur une petite sphère qui se déplace lentement dans un fluide visqueux, F = 6πµrv. George Gabriel Stokes l’a établie en 1851 pour le régime d’écoulement rampant (faible nombre de Reynolds).
Force de traînéeForce de résistance exercée par un fluide sur un objet qui s’y déplace ; elle s’oppose au mouvement relatif. Dans le régime de Stokes, elle augmente de façon linéaire avec la vitesse, le rayon et la viscosité.
Vitesse de sédimentationAussi appelée vitesse terminale : vitesse constante atteinte par une particule lorsque la force de gravité vers le bas, diminuée de la poussée d’Archimède, équilibre exactement la traînée vers le haut et que l’accélération cesse.
SédimentationProcessus par lequel des particules en suspension dans un fluide se déposent sous l’effet de la gravité. La loi de Stokes est le modèle classique qui sert à prévoir la vitesse de sédimentation de particules d’une taille donnée, par exemple pour le traitement de l’eau ou l’analyse des sols.
ViscositéRésistance d’un fluide à l’écoulement ou au cisaillement, exprimée ici par sa viscosité dynamique µ en pascals-secondes (Pa·s). À température ambiante, la viscosité de l’eau est d’environ 0.001 Pa·s ; celles du miel et de la glycérine sont bien plus élevées.
SphèreLa loi de Stokes est établie spécifiquement pour une sphère lisse et rigide. Les particules non sphériques (paillettes, fibres, grains irréguliers) subissent une traînée différente et nécessitent un facteur de correction de forme que ce calculateur ne modélise pas.
Faible nombre de ReynoldsRégime d’écoulement (Re ≪ 1, parfois appelé écoulement rampant ou écoulement de Stokes) où les forces visqueuses dominent les forces d’inertie. La loi de Stokes n’est précise que dans ce régime ; au-delà d’environ Re = 1, l’écoulement commence à se détacher de la sphère et la traînée réelle dépasse la prévision de Stokes.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
🫧
Traînée sur une sphère en chute
Petite bille se déplaçant dans de la glycérine
Rayon 0.0005 mViscosité 1.49 Pa·sVitesse 0.02 m/s
F = 6π × 1.49 × 0.0005 × 0.02 ≈ 0.000281 N. Même une petite sphère qui se déplace lentement subit une traînée mesurable dans un fluide très visqueux comme la glycérine. C’est le même principe physique que celui des viscosimètres à bille tombante, qui servent à mesurer la viscosité d’un fluide.
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Sédimentation d’un grain de limon
Grain fin de limon qui se dépose dans de l’eau calme
Rayon 0.00002 mMasse volumique des particules 2650 kg/m³Masse volumique du fluide 1000 kg/m³Viscosité 0.001 Pa·s
v = 2 × 0.00002² × (2650 − 1000) × 9.81 / (9 × 0.001) ≈ 0.00144 m/s. Ici, le nombre de Reynolds est d’environ 0.058, bien dans la plage de validité de la loi de Stokes. C’est pourquoi cette formule est à la base de méthodes d’analyse des sédiments comme la méthode à l’hydromètre, utilisée pour les grains fins de limon.
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Limites de validité de la loi de Stokes
Particule plus grosse et tombant plus vite dans l’eau
Rayon 0.005 mMasse volumique des particules 2650 kg/m³Masse volumique du fluide 1000 kg/m³Viscosité 0.001 Pa·s
La formule prédit une vitesse de sédimentation élevée, mais le nombre de Reynolds obtenu dépasse largement la limite Re ≈ 1 du régime rampant. L’écoulement se détache derrière la particule et la traînée réelle dépasse la prévision de Stokes ; la vitesse réelle de sédimentation est donc inférieure à la valeur calculée. C’est précisément cette limite aux faibles Re que le contrôle de validité du calculateur permet de repérer.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
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APA
MLA
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Analyse approfondie
Comment la loi de Stokes permet de prévoir la traînée et la vitesse de sédimentation
En 1851, George Gabriel Stokes a déterminé la force de traînée exercée sur une petite sphère progressant lentement dans un fluide visqueux. Ce résultat reste aujourd’hui à la base de l’analyse des sédiments, de la viscosimétrie et de la mesure de la taille des particules. Ce calculateur applique F = 6πµrv pour déterminer directement la traînée, ou réarrange l’équilibre entre gravité, poussée d’Archimède et traînée afin de calculer la vitesse à laquelle une particule se dépose — ou remonte — dans un fluide.
Fonctionnement du calculateur de la loi de Stokes
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La force de traînée de Stokes, F = 6πµrv, s’obtient en résolvant les équations d’écoulement d’un fluide pour une sphère se déplaçant assez lentement pour que l’inertie soit négligeable devant le frottement visqueux : c’est le régime dit d’écoulement rampant. La formule de vitesse de sédimentation étend ce raisonnement en égalant la traînée à la force nette dirigée vers le bas, soit la gravité moins la poussée d’Archimède, qui dépend de la différence de masse volumique entre la particule et le fluide. Elle détermine ensuite la vitesse à laquelle ces forces s’équilibrent. Comme l’équilibre peut s’établir dans les deux sens, une particule moins dense que le fluide environnant remonte au lieu de sédimenter ; le calculateur l’indique explicitement plutôt que de traiter le résultat comme une erreur.
Entrées et signification
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Le rayon (m) est celui de la sphère, et non son diamètre : la loi de Stokes est établie spécifiquement pour les sphères, et les particules de forme irrégulière nécessitent un facteur de correction que ce calculateur n’applique pas. La viscosité dynamique µ (Pa·s) est une propriété du fluide ; elle vaut environ 0.001 Pa·s pour l’eau et 1.49 Pa·s pour la glycérine. Les masses volumiques de la particule et du fluide (kg/m³) n’interviennent que dans le calcul de la vitesse de sédimentation : c’est leur différence, et non leurs valeurs absolues, qui détermine le résultat. Dans l’onglet « Force de traînée », la vitesse (m/s) est la vitesse relative entre la sphère et le fluide, quelle que soit l’origine de ce mouvement.
Limites et cas particuliers
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La loi de Stokes n’est précise qu’à faible nombre de Reynolds, dans le régime d’écoulement rampant (environ Re ≪ 1), avec Re = ρf·v·(2r)/µ et le diamètre de la sphère comme longueur caractéristique. Au-dessus d’environ Re = 1, l’écoulement commence à se détacher à l’arrière de la sphère et la traînée réelle dépasse la prévision de Stokes ; l’onglet « Vitesse de sédimentation » le signale par un contrôle du nombre de Reynolds. La formule suppose également un fluide newtonien, immobile et de volume infini ; elle ne prend en compte ni la proximité des parois d’un récipient (effet de paroi), ni les interactions entre particules dans les suspensions concentrées, ni les formes non sphériques, ni les fluides compressibles ou non newtoniens. Pour les particules plus grosses ou tombant rapidement, utilisez plutôt une corrélation complète du coefficient de traînée.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule de la loi de Stokes ?+
F = 6πµrv, où µ est la viscosité dynamique du fluide (Pa·s), r le rayon de la sphère (m) et v sa vitesse relative par rapport au fluide (m/s). Le résultat F est la force de traînée, exprimée en newtons.
Comment calcule-t-on la vitesse de sédimentation ?+
La vitesse terminale de sédimentation équilibre la gravité, la poussée d’Archimède et la traînée : v = 2r²(ρp − ρf)g/(9µ), où ρp et ρf sont les masses volumiques de la particule et du fluide. Lorsque la traînée compense exactement la force nette de gravité et de poussée, la particule cesse d’accélérer et tombe — ou remonte — à vitesse constante.
Quand la loi de Stokes est-elle valable ?+
Elle ne s’applique qu’au régime d’écoulement rampant, à faible nombre de Reynolds (environ Re ≪ 1), ce qui correspond généralement à de petites sphères (de quelques micromètres à quelques millimètres) se déplaçant lentement dans un fluide visqueux. Au-dessus d’environ Re = 1, l’écoulement se détache et la traînée réelle dépasse la prévision de Stokes ; le calculateur signale les résultats en dehors de cette plage.
La loi de Stokes s’applique-t-elle à la sédimentation ?+
Oui. Elle constitue le modèle classique pour prévoir la vitesse à laquelle de fines particules (limon, argile ou sable, par exemple) se déposent dans un fluide sous l’effet de la gravité. Elle est utilisée notamment pour l’analyse granulométrique des sols par la méthode à l’hydromètre et pour concevoir des bassins de décantation destinés au traitement de l’eau.
Quelles unités ce calculateur utilise-t-il ?+
Le rayon est exprimé en mètres (m), la viscosité en pascals-secondes (Pa·s), la vitesse en mètres par seconde (m/s), les masses volumiques en kilogrammes par mètre cube (kg/m³) et la force de traînée en newtons (N). Le nombre de Reynolds est sans dimension.
En quoi la traînée de Stokes diffère-t-elle des autres formules de traînée ?+
La traînée de Stokes ne s’applique qu’au régime de faible nombre de Reynolds, où la force de traînée est proportionnelle à la vitesse (F ∝ v). À des nombres de Reynolds plus élevés — pour des objets plus gros ou se déplaçant plus vite — la traînée suit plutôt la loi quadratique de Newton (F ∝ v²), avec un coefficient qui dépend de la forme et des conditions d’écoulement. Ce calculateur ne modélise pas ce régime.
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