Calculez les fréquences harmoniques et les longueurs d’onde d’une onde stationnaire sur une corde ou dans un tube ouvert ou fermé à partir de la longueur et de la vitesse de l’onde.
Inputs
m
Longueur de la corde ou du tube.
m/s
Vitesse de l’onde dans le milieu : 340 m/s pour le son dans l’air, nettement moins pour une corde tendue.
1 = fondamentale, 2 = deuxième harmonique, etc. 1 = fondamentale, 2 = deuxième harmonique, etc.
Fréquence harmonique
—
Choose a system and enter length, wave speed, and a harmonic number above.
Inputs
m
Longueur de la corde ou du tube.
m/s
Vitesse de l’onde dans le milieu.
Fréquence fondamentale
—
Choose a system and enter length and wave speed above to see the first 8 harmonics.
Harmonic (n)
Overtone
Frequency (Hz)
Wavelength (m)
Inputs
m
Longueur de la corde ou du tube.
m/s
Vitesse de l’onde dans le milieu.
1 = fondamentale, 2 = deuxième harmonique, etc. 1 = fondamentale, 2 = deuxième harmonique, etc.
Longueur d’onde harmonique
—
Choose a system and enter length, wave speed, and a harmonic number above.
5 min de lecture3 étapes7 termes3 exemples6 questionsfn = n · v / (2L), n = 1, 2, 3, 4, …
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Choisir un système et saisir sa longueur et la vitesse de l’onde
Dans l’onglet Harmonique, choisissez une corde fixée aux deux extrémités, un tube ouvert aux deux extrémités ou un tube fermé à une extrémité. Saisissez la longueur de la corde ou du tube (en mètres) et la vitesse de l’onde (en m/s : 340 m/s pour le son dans l’air à température ambiante, ou une valeur plus faible calculée à partir de la tension et de la masse linéique d’une corde). Le calculateur se met à jour instantanément.
2
Choisir un rang harmonique pour obtenir sa fréquence et sa longueur d’onde
Saisissez un rang harmonique n (1 pour la fondamentale, 2 pour le deuxième harmonique, etc.). Le calculateur renvoie immédiatement sa fréquence et sa longueur d’onde. Les tubes fermés ne produisent que les harmoniques impaires (1er, 3e, 5e, etc.) : si vous indiquez un nombre pair, le calculateur passe au nombre impair valide le plus proche et en explique la raison.
3
Afficher toute la série d’harmoniques
L’onglet Série harmonique affiche les 8 premiers harmoniques valides du système choisi dans un graphique à barres et un tableau, sans qu’il soit nécessaire d’indiquer un rang particulier. Utilisez l’onglet Longueur d’onde si vous souhaitez calculer d’abord la longueur d’onde plutôt que la fréquence à partir des mêmes paramètres.
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Référence
Formule et méthodologie
3 formules▸
Corde fixée aux deux extrémités ou tube ouvert aux deux extrémités
fn = n · v / (2L), n = 1, 2, 3, 4, …
Tout entier positif n correspond à un harmonique valide. fn est la fréquence du n-ième harmonique en hertz (Hz), v la vitesse de l’onde en mètres par seconde (m/s) et L la longueur de la corde ou du tube en mètres (m). Une corde fixée aux deux extrémités et un tube ouvert aux deux extrémités suivent la même formule : leurs conditions aux limites imposent un motif nœud-à-nœud ou ventre-à-ventre qui fait tenir un nombre entier de demi-longueurs d’onde dans la longueur.
Tube fermé à une extrémité et ouvert à l’autre
fn = n · v / (4L), n = 1, 3, 5, 7, … (odd only)
Un tube fermé à une extrémité ne produit que les harmoniques impaires. L’extrémité fermée doit être un nœud (déplacement nul) et l’extrémité ouverte un ventre ; seule une longueur d’onde quart, à laquelle s’ajoutent des demi-longueurs d’onde entières, peut tenir dans le tube. Les harmoniques 2, 4, 6, etc. sont donc physiquement impossibles. À longueur et vitesse d’onde égales, la fondamentale d’un tube fermé est exactement deux fois plus basse que celle d’un tube ouvert.
Longueur d’onde d’un harmonique
λn = 2L / n (string/open pipe) or λn = 4L / n (closed pipe, odd n)
La longueur d’onde du n-ième harmonique découle directement de la relation entre la longueur du système et ses conditions aux limites utilisée pour calculer la fréquence. Elle ne dépend pas du tout de la vitesse de l’onde, mais uniquement du système, de sa longueur et du rang harmonique.
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Onde stationnaireMotif d’onde qui semble immobile, formé lorsque deux ondes de même fréquence se propagent en sens opposés et interfèrent. Il apparaît généralement lorsqu’une onde se réfléchit sur une extrémité fixe ou ouverte et interfère avec elle-même. Le résultat est un motif fixe de nœuds et de ventres plutôt qu’une onde qui se déplace visiblement.
HarmoniqueFréquence discrète à laquelle un système forme naturellement une onde stationnaire. Les harmoniques sont numérotés n = 1, 2, 3… (ou n = 1, 3, 5… pour un tube fermé). Chacun fait tenir un nombre entier de longueurs d’onde ou de demi-longueurs d’onde dans la corde ou le tube.
Fréquence fondamentalePremier harmonique (n = 1), soit la fréquence la plus basse à laquelle une onde stationnaire peut se former sur une corde ou dans un tube donné. C’est la note la plus grave, et généralement la plus forte, produite par le système.
Harmonique supérieurTout harmonique au-dessus de la fondamentale. Le 2e harmonique est le premier harmonique supérieur, le 3e est le deuxième, et ainsi de suite. Pour un tube fermé, qui ne produit que des harmoniques impaires, le 3e est le premier harmonique supérieur, le 5e le deuxième, etc.
NœudPoint fixe de l’onde stationnaire où le déplacement est toujours nul. Une corde fixée à ses deux extrémités possède un nœud à chacune d’elles ; un tube fermé à une extrémité a un nœud à son extrémité fermée.
VentrePoint fixe de l’onde stationnaire où le déplacement oscille avec une amplitude maximale. Une extrémité ouverte de tube est toujours un ventre, tout comme le milieu d’une corde vibrant sur son mode fondamental.
Tube ouvert ou ferméUn tube ouvert a ses deux extrémités ouvertes à l’air (ce sont deux ventres) et suit la même formule qu’une corde fixée aux deux extrémités : tous les rangs harmoniques entiers sont possibles. Un tube fermé est obturé à une extrémité (nœud) et ouvert à l’autre (ventre) ; il ne produit que des harmoniques impaires et sa fréquence fondamentale est deux fois plus basse que celle d’un tube ouvert de même longueur.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Étudiante en musique
Fréquence fondamentale d’une corde de 1 m
Système Corde fixée aux deux extrémitésLongueur 1 mVitesse de l’onde 340 m/sRang harmonique 1
f1 = 1 × 340 / (2 × 1) = 170 Hz. Il s’agit de la fondamentale, soit la note la plus grave que cette corde peut produire pour cette longueur et cette vitesse d’onde. Doubler la vitesse de l’onde (en augmentant la tension) ou réduire la longueur de moitié double la fréquence fondamentale.
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Facteur d’instruments à vent
Un tube fermé ne produit que des harmoniques impaires
Système Tube fermé à une extrémitéLongueur 1 mVitesse de l’onde 340 m/sRang harmonique 3
La fondamentale vaut f1 = 1 × 340 / (4 × 1) = 85 Hz, soit la moitié de celle d’une corde ou d’un tube ouvert de même longueur, car l’extrémité fermée impose une longueur d’onde effective plus grande. Le 3e harmonique (le premier harmonique supérieur que ce tube peut produire) vaut f3 = 3 × 340 / (4 × 1) = 255 Hz. Un tube fermé ne produit pas de 2e harmonique à 170 Hz : si vous saisissez un rang pair, le calculateur passe au rang impair suivant.
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Étudiant en physique
Calculer la longueur d’onde plutôt que la fréquence
Système Corde fixée aux deux extrémitésLongueur 1 mRang harmonique 2
λ2 = 2 × 1 / 2 = 1 m. Le deuxième harmonique d’une corde de 1 m a une longueur d’onde égale à la longueur de la corde : une oscillation complète tient sur la corde, avec un nœud à chaque extrémité et un au milieu.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
APA
MLA
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Analyse approfondie
Pourquoi les ondes stationnaires ne résonnent qu’à certaines fréquences
Une corde de guitare, une flûte et un tuyau d’orgue produisent des sons de la même manière fondamentale : une onde se réfléchit à l’intérieur d’une longueur fixe, et seules certaines fréquences tiennent dans cette longueur sans s’annuler. Ce calculateur détermine ces fréquences — les harmoniques — pour une corde fixée aux deux extrémités, un tube ouvert aux deux extrémités ou un tube fermé à une extrémité, et montre en quoi le cas du tube fermé diffère des deux autres.
Les conditions aux limites déterminent les fréquences possibles
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Une onde qui se propage le long d’une corde ou dans un tube se réfléchit lorsqu’elle atteint une extrémité. Si l’onde réfléchie et l’onde initiale coïncident parfaitement — crête sur crête, creux sur creux — elles se renforcent et forment un motif stable et immobile : une onde stationnaire. Si elles ne coïncident pas, elles interfèrent de manière destructive et l’onde s’atténue. La possibilité de coïncidence dépend entièrement des conditions aux limites à chaque extrémité. Une corde fixée aux deux extrémités et un tube ouvert aux deux extrémités suivent la même règle : les deux extrémités doivent être des nœuds (corde) ou des ventres (tube ouvert). Cela ne se produit que lorsque la longueur est un nombre entier de demi-longueurs d’onde — L = n·λ/2, d’où fn = n·v/(2L) pour tout entier positif n.
Pourquoi un tube fermé ne produit que des harmoniques impaires
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Un tube fermé à une extrémité présente des conditions aux limites différentes : l’extrémité fermée doit être un nœud (l’air ne peut pas s’y déplacer) et l’extrémité ouverte doit être un ventre (l’air y oscille librement). Cette combinaison ne permet de faire tenir dans le tube qu’un quart de longueur d’onde auquel s’ajoutent des demi-longueurs d’onde entières — L = n·λ/4, uniquement pour les valeurs impaires de n. Pour les valeurs paires, l’extrémité ouverte devrait aussi être un nœud, ce qui contredit la condition physique : ces fréquences ne se forment donc jamais. En pratique, la fondamentale d’un tube fermé est exactement la moitié de celle d’un tube ouvert ou d’une corde de même longueur, et tous ses harmoniques pairs sont absents. C’est en partie pourquoi les clarinettes (dont le comportement s’apparente à celui d’un tube fermé) sonnent différemment des flûtes (tubes ouverts), même pour des longueurs comparables.
Lire ensemble les nœuds, les ventres et les harmoniques supérieurs
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Tout harmonique situé au-dessus de la fondamentale est un harmonique supérieur ; chacun ajoute une paire de nœuds et de ventres le long du système. La fondamentale (n = 1) présente le motif le plus simple : un seul ventre au milieu d’une corde ou à l’extrémité ouverte d’un tube. Les instruments réels produisent rarement un seul harmonique pur ; ils combinent une fondamentale dominante et des harmoniques supérieurs d’intensité progressivement plus faible. Leur intensité relative contribue largement à la différence de timbre entre un violon et une flûte jouant la même note fondamentale. L’onglet Série harmonique affiche tous les harmoniques que votre système peut produire : c’est une première étape pour comprendre la richesse du son réel.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Qu’est-ce que la fréquence fondamentale ?+
La fondamentale est le premier harmonique, n = 1 : c’est la fréquence la plus basse à laquelle une onde stationnaire peut se former sur une corde ou dans un tube donné. Pour une corde ou un tube ouvert, chaque autre harmonique est un multiple entier de la fondamentale ; pour un tube fermé, il s’agit d’un multiple entier impair.
Quelle formule s’applique à une corde ou à un tube ouvert ?+
fn = n·v/(2L), où n est un entier positif (1, 2, 3…), v la vitesse de l’onde et L la longueur. Une corde fixée aux deux extrémités et un tube ouvert aux deux extrémités utilisent la même formule, car leurs conditions aux limites imposent le même espacement des nœuds et des ventres.
Pourquoi un tube fermé ne possède-t-il que des harmoniques impairs ?+
Un tube fermé à une extrémité doit avoir un nœud à l’extrémité fermée et un ventre à l’extrémité ouverte. Ces conditions différentes ne permettent que des nombres impairs de quarts de longueur d’onde dans le tube ; la formule fn = n·v/(4L) est donc limitée à n = 1, 3, 5, 7… Les harmoniques pairs sont physiquement impossibles dans cette configuration.
Que sont les nœuds et les ventres ?+
Un nœud est un point fixe de l’onde stationnaire où le déplacement est toujours nul, comme les deux extrémités fixes d’une corde de guitare. Un ventre est un point où le déplacement oscille avec une amplitude maximale, comme l’extrémité ouverte d’un tube ou le milieu d’une corde vibrant sur sa fondamentale.
Quelles unités le calculateur utilise-t-il ?+
La longueur est exprimée en mètres (m), la vitesse de l’onde en mètres par seconde (m/s), la fréquence en hertz (Hz) et la longueur d’onde en mètres (m). Pour modéliser un instrument à vent ou un tube à température ambiante, 340 m/s est une valeur de référence raisonnable pour la vitesse du son dans l’air.
Quelle différence y a-t-il entre harmonique et harmonique supérieur ?+
Les harmoniques sont numérotés à partir de la fondamentale, qui est le premier harmonique. Les harmoniques supérieurs commencent à la première fréquence située au-dessus de la fondamentale : le 2e harmonique est le premier harmonique supérieur, le 3e est le deuxième, etc. Pour la suite d’harmoniques impairs d’un tube fermé, le 3e harmonique est le premier harmonique supérieur et le 5e, le deuxième.
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