Calculez le débit volumique dans une conduite à partir de son rayon, de la différence de pression, de la viscosité et de la longueur ; résolvez une variable inconnue ou examinez la sensibilité du débit au rayon : Q = πr⁴ΔP/(8µL).
Pipe & fluid properties
1 cm = 0.01 m. Use the internal radius, not diameter.
Water ≈ 0.001 Pa·s at room temperature.
Débit volumique
—
Enter radius, pressure difference, viscosity, and length to compute.
Débit (L/min)—
Sensibilité au rayonr⁴ law
Solve for a missing variable
Use scientific notation, e.g. 4e-7 for 4×10⁻⁷.
Valeur calculée
—
Choose a variable, set the target flow rate, and enter the other three values.
See how flow rate scales with radius
Q ∝ r⁴, so flow rate is extremely sensitive to radius — a doubled radius means 16× the flow, and a halved radius means 1/16th the flow, even though ΔP, µ, and L never changed.
Débit au rayon actuel
—
Enter radius, pressure difference, viscosity, and length to see the sensitivity table.
Flow rate vs. radius multiplier
Radius
Flow rate
vs. current
—
Each row scales the current radius by the listed multiplier; flow rate scales by the multiplier to the 4th power.
4 min de lecture3 étapes7 termes3 exemples6 questionsQ = πr⁴ΔP / (8µL)
Jean Léonard Marie Poiseuille a établi cette équation dans les années 1840 en étudiant l’écoulement sanguin.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Saisissez les caractéristiques de la conduite et du fluide
Dans l’onglet « Débit », saisissez le rayon intérieur de la conduite (m), la différence de pression qui entraîne l’écoulement (Pa), la viscosité dynamique du fluide (Pa·s) et la longueur de la conduite (m). Les quatre valeurs doivent être supérieures à zéro pour obtenir un résultat correspondant à un écoulement laminaire.
2
Lisez le débit et la relation en r⁴
La carte de résultat affiche le débit volumique Q en m³/s et en L/min, ainsi qu’une explication de la sensibilité particulière de Q au rayon. Comme Q varie selon r⁴, une faible variation du rayon a bien plus d’effet qu’une variation en pourcentage équivalente de la pression, de la viscosité ou de la longueur.
3
Calculez une variable inconnue ou étudiez la sensibilité au rayon
Dans l’onglet « Résoudre », choisissez la variable inconnue (rayon, différence de pression, viscosité ou longueur), indiquez un débit cible et saisissez les trois autres données : le calculateur réarrange Q = πr⁴ΔP/(8µL) pour la déterminer. Dans l’onglet « Sensibilité au rayon », le tableau montre exactement comment le débit varie lorsque le rayon actuel est multiplié par 0.5, 0.75, 1.25, 1.5 ou 2.
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Référence
Formule et méthodologie
3 formules▸
Équation de Hagen–Poiseuille
Q = πr⁴ΔP / (8µL)
Le débit volumique Q (m³/s) est égal à π multiplié par le rayon r (m) de la conduite à la puissance 4, puis par la différence de pression ΔP (Pa) le long de la conduite, le tout divisé par 8 fois la viscosité dynamique µ (Pa·s) et la longueur L (m) de la conduite.
Relation de sensibilité en r⁴
Q₂/Q₁ = (r₂/r₁)⁴
Comme le débit dépend de la puissance 4 du rayon, le rapport de deux débits est égal au rapport de leurs rayons élevé à la puissance 4 : un rayon multiplié par 2 produit 16 fois plus de débit, tandis qu’un rayon divisé par 2 donne 1/16 du débit, indépendamment de ΔP, µ ou L.
Condition de validité
Laminar flow only (low Reynolds number)
La loi de Poiseuille suppose un écoulement permanent et laminaire d’un fluide newtonien incompressible dans une conduite cylindrique rigide et rectiligne. Elle cesse de s’appliquer lorsque l’écoulement devient turbulent : en cas de doute, vérifiez le nombre de Reynolds pour déterminer le régime.
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Loi de PoiseuilleÉquation, également appelée équation de Hagen–Poiseuille, qui décrit le débit volumique d’un fluide newtonien en régime laminaire permanent dans une conduite cylindrique rigide : Q = πr⁴ΔP/(8µL).
Écoulement laminaireÉcoulement qui se déplace en couches parallèles régulières, avec très peu de mélange. La loi de Poiseuille ne s’applique qu’à ce régime et ne décrit pas un écoulement turbulent et chaotique.
Débit volumiqueVolume de fluide traversant une section par unité de temps, noté Q et généralement exprimé en m³/s ou converti en unités plus intuitives comme les litres par minute (L/min).
ViscositéRésistance d’un fluide à l’écoulement ou au cisaillement, notée µ pour la viscosité dynamique et exprimée en pascals-secondes (Pa·s). Plus la viscosité est élevée, plus la résistance augmente et, toutes choses égales par ailleurs, plus le débit diminue.
Gradient de pressionDifférence de pression ΔP qui entraîne le fluide dans la conduite, divisée par la longueur de cette conduite. Il s’agit de la force par unité de surface qui pousse le fluide vers l’avant malgré la résistance visqueuse.
RayonRayon intérieur r de la conduite, égal à la moitié de son diamètre intérieur. Le débit est proportionnel à r⁴, ce qui fait du rayon la variable de loin la plus sensible dans la loi de Poiseuille.
Hagen–PoiseuilleNom complet de la loi, attribuée à Gotthilf Hagen et Jean Léonard Marie Poiseuille, qui ont établi indépendamment cette relation pour l’écoulement dans une conduite dans les années 1840.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Eau dans une petite conduite
Conduite de rayon 1 cm soumise à une faible différence de pression
Rayon 0.01 mDifférence de pression 1,000 PaViscosité 0.001 Pa·sLongueur 1 m
Q = π × 0.01⁴ × 1,000 / (8 × 0.001 × 1) ≈ 3.93 × 10⁻³ m³/s, soit environ 236 L/min. La très faible viscosité de l’eau signifie qu’une différence de pression modeste de 1,000 Pa entraîne un débit important dans une conduite de 2 cm de diamètre. (En pratique, à ce débit, l’écoulement réel serait turbulent et non laminaire : la loi de Poiseuille est utilisée ici comme formule idéalisée ; voir la section sur les limites.)
📉
Effet de r⁴ isolé
Même conduite que ci-dessus, mais avec un rayon réduit de moitié à 0.005 m
Rayon 0.005 mDifférence de pression 1,000 PaViscosité 0.001 Pa·sLongueur 1 m
Q = π × 0.005⁴ × 1,000 / (8 × 0.001 × 1) ≈ 2.45 × 10⁻⁴ m³/s (environ 14.7 L/min), soit exactement 1/16 du débit initial, alors que rien d’autre n’a changé. C’est la réduction du rayon de moitié, et non celle de la pression ou de la longueur, qui a fait chuter le débit.
🫀
Approximation de l’écoulement sanguin
Petite artériole modélisée comme une conduite rigide contenant du sang
Rayon 0.0001 m (0.1 mm)Différence de pression 1,330 Pa (~10 mmHg)Viscosité 0.0035 Pa·s (sang)Longueur 0.01 m
Q ≈ π × 0.0001⁴ × 1,330 / (8 × 0.0035 × 0.01) ≈ 1.49 × 10⁻⁹ m³/s (environ 0.09 mL/min). Il ne s’agit que d’une approximation pédagogique : le sang n’est pas un fluide parfaitement newtonien et les vaisseaux ne sont pas parfaitement rigides. L’écoulement physiologique réel diffère donc de la formule idéale, surtout dans les petits vaisseaux.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
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MLA
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Analyse approfondie
Comment la loi de Poiseuille explique l’écoulement dans une conduite
Jean Léonard Marie Poiseuille a établi cette équation dans les années 1840 en étudiant l’écoulement sanguin. Elle reste un outil de référence pour prévoir la vitesse d’un fluide dans une conduite en régime laminaire. Q = πr⁴ΔP/(8µL) paraît simple, mais son enseignement le plus important peut passer inaperçu : le débit dépend de la puissance 4 du rayon, ce qui en fait le levier le plus puissant de toute l’équation.
Fonctionnement du calculateur de la loi de Poiseuille
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Le calculateur applique directement Q = πr⁴ΔP/(8µL) : le rayon intérieur r (m) élevé à la puissance 4, multiplié par la différence de pression ΔP (Pa) qui entraîne l’écoulement, puis divisé par 8 fois la viscosité dynamique µ (Pa·s) et la longueur L (m) de la conduite. L’onglet « Résoudre » réarrange algébriquement cette même équation pour isoler l’une des quatre entrées à partir d’un débit cible et des trois autres données. Pour calculer le rayon, il faut extraire une racine quatrième ; le calculateur effectue automatiquement cette transformation, la plus délicate.
Entrées et signification
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Le rayon (m) correspond au rayon intérieur de la conduite, et non à son diamètre : les confondre est une source fréquente d’erreurs d’un facteur 16. La différence de pression (Pa) est la chute de pression entre les deux extrémités de la conduite, qui constitue la force motrice réelle de l’écoulement. La viscosité dynamique (Pa·s) est une propriété du fluide : celle de l’eau est d’environ 0.001 Pa·s à température ambiante, tandis que celle du miel ou du plasma sanguin est bien plus élevée. La longueur (m) correspond à la distance rectiligne parcourue par le fluide. Parmi ces quatre données, le rayon a l’effet dominant : le doubler multiplie le débit par 16, tandis que doubler la pression ne fait que le doubler.
Limites et cas particuliers
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La loi de Poiseuille suppose un écoulement permanent et laminaire d’un fluide newtonien incompressible dans une conduite cylindrique rigide et rectiligne, dont les parois respectent la condition d’adhérence. Elle ne s’applique pas lorsque l’écoulement devient turbulent (utilisez un calculateur du nombre de Reynolds en cas de doute) et ne prend pas en compte les effets d’entrée près de l’embouchure, la courbure de la conduite ni les parois élastiques des vaisseaux. L’exemple sanguin ci-dessus n’est qu’une approximation pédagogique : le sang est un fluide non newtonien rhéofluidifiant, et les vaisseaux réels sont élastiques et ramifiés. Les calculs cliniques de l’écoulement sanguin font donc appel à des modèles plus spécialisés. Considérez ce calculateur comme une estimation d’ingénierie idéalisée, et non comme un substitut à une modélisation spécifique en biomédecine ou dans l’industrie de haute précision.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule de la loi de Poiseuille ?+
Q = πr⁴ΔP/(8µL), où Q est le débit volumique (m³/s), r le rayon intérieur de la conduite (m), ΔP la différence de pression entre ses extrémités (Pa), µ la viscosité dynamique (Pa·s) et L sa longueur (m).
Pourquoi le rayon compte-t-il beaucoup plus que les autres variables ?+
Le débit est proportionnel à la puissance 4 du rayon (r⁴), alors qu’il est proportionnel à la première puissance de la différence de pression, de la viscosité et de la longueur. Réduire le rayon de moitié divise donc le débit par 16, tandis que diviser la pression par deux ne le divise que par 2.
La loi de Poiseuille s’applique-t-elle uniquement aux écoulements laminaires ?+
Oui. L’équation suppose un écoulement permanent et laminaire d’un fluide newtonien incompressible dans une conduite cylindrique rigide et rectiligne. Lorsque le nombre de Reynolds entre dans le régime turbulent, la loi de Poiseuille ne permet plus de prévoir correctement le débit.
Ce calculateur peut-il servir à calculer l’écoulement sanguin ?+
Uniquement à titre d’approximation. Le sang réel est un fluide non newtonien rhéofluidifiant et les vaisseaux sont élastiques, et non rigides. La loi de Poiseuille illustre donc la tendance générale — le rayon domine — sans donner un débit physiologique précis ; les études cliniques s’appuient sur des modèles hémodynamiques plus spécialisés.
Quelles unités le calculateur utilise-t-il ?+
Le rayon et la longueur sont exprimés en mètres (m), la différence de pression en pascals (Pa) et la viscosité en pascals-secondes (Pa·s). Le débit obtenu est affiché en mètres cubes par seconde (m³/s) et en litres par minute (L/min).
Puis-je calculer le rayon au lieu du débit ?+
Oui. Dans l’onglet « Résoudre », choisissez le rayon, la différence de pression, la viscosité ou la longueur comme variable inconnue, saisissez un débit cible et les trois autres valeurs ; le calculateur réarrange l’équation pour trouver la valeur manquante. Pour le rayon, il extrait une racine quatrième.
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