L’équation des lentilles minces, 1/f = 1/do + 1/di, est l’une des formules les plus utilisées en optique. Elle décrit la formation d’une image par une lentille convergente ou divergente et s’applique aussi aux miroirs avec la même convention de signe cartésienne. Cet article présente l’équation, ses règles de signe et la façon de déduire le type d’image des valeurs obtenues.

Pourquoi une seule équation décrit lentilles et miroirs

L’équation 1/f = 1/do + 1/di découle du tracé des rayons paraxiaux (proches et presque parallèles à l’axe optique) à travers une lentille mince, à l’aide de triangles semblables. La même relation, avec la convention cartésienne où les distances réelles sont positives, décrit les miroirs sphériques si l’on traite l’image réfléchie comme l’image réfractée d’une lentille. Une lentille convergente biconvexe joue le rôle mathématique d’un miroir concave ; une lentille divergente biconcave, celui d’un miroir convexe. Les manuels présentent donc l’équation des miroirs comme « la même formule, avec un autre dispositif ».

Comprendre la convention de signe

La convention utilisée ici — do toujours positif, f positif pour les éléments convergents et négatif pour les divergents, di positif pour les images réelles et négatif pour les virtuelles — permet d’utiliser une seule équation et la formule m = −di/do. do est positif, car un objet réel se trouve devant la lentille ou le miroir. f change de signe car le foyer d’un élément divergent est virtuel : les rayons ne le traversent pas, ils semblent en diverger. Le signe de di indique si l’image est réelle (positif, les rayons convergent réellement) ou virtuelle (négatif, ils semblent en provenir). Cette règle s’applique aux télescopes, microscopes, objectifs et lunettes.

Des valeurs à l’image obtenue

Le grandissement m = −di/do indique l’apparence de l’image sans schéma de rayons. Le signe de m donne l’orientation : négatif signifie inversée, positif signifie droite. Sa valeur absolue indique la taille : supérieure à 1, l’image est agrandie ; inférieure à 1, réduite ; égale à 1, de même taille. Avec le signe de di, on obtient les cas d’une lentille convergente : au-delà de 2f, image réelle, inversée et réduite (comme un paysage sur le capteur d’un appareil photo) ; entre f et 2f, image réelle, inversée et agrandie (comme une diapositive projetée) ; à l’intérieur de f, image virtuelle, droite et agrandie (comme avec une loupe) ; exactement à 2f, image réelle, inversée et de même taille.

Limites du modèle de lentille mince

Cette équation suppose une lentille ou un miroir idéal et mince : épaisseur nulle, courbure parfaite et rayons limités à la région paraxiale proche de l’axe optique. Les éléments réels présentent des écarts non décrits par la formule simple : aberrations sphérique et chromatique, coma ou astigmatisme pour les objets hors axe. Les lentilles épaisses et systèmes composés nécessitent de suivre les plans principaux plutôt qu’une position unique. Pour estimer la position et la taille d’une image, l’équation des lentilles minces reste le point de départ standard de l’optique introductive et elle est exacte pour un élément mince idéal.