Calculez l’angle de diffraction, la longueur d’onde ou l’espacement interréticulaire en diffraction des rayons X avec la loi de Bragg (nλ = 2d·sinθ).
Paramètres de diffraction
Ordre de réflexion entier — généralement 1 pour le pic le plus intense.
Longueur d’onde des rayons X incidents. Cu Kα ≈ 0.154 nm (1.54 Å).
Distance entre des plans adjacents du réseau cristallin.
Angle entre le faisceau incident et le plan réticulaire (pas l’angle détecteur 2θ).
Résultat
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Enter wavelength and interplanar spacing above to compute the diffraction angle.
5 min de lecture3 étapes7 termes3 exemples6 questionsnλ = 2d·sinθ
La loi de Bragg (nλ = 2d·sinθ) est l’équation fondamentale de la cristallographie par rayons X.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Choisir la variable à calculer
Choisissez l’un des trois onglets au-dessus du calculateur : Angle de diffraction, Espacement interréticulaire ou Longueur d’onde. Le champ choisi disparaît des données à saisir et est calculé à la place ; les deux autres grandeurs et l’ordre de diffraction n restent modifiables.
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Saisir les grandeurs connues
Saisissez l’ordre de diffraction (n, généralement égal à 1 pour le pic le plus intense), ainsi que les valeurs de longueur d’onde (λ), d’espacement interréticulaire (d) et d’angle de diffraction (θ) qui restent affichées. Le résultat s’actualise pendant la saisie.
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Lire le résultat
La carte de résultat affiche la grandeur calculée et un résumé des autres valeurs utilisées. La ligne d’interprétation présente la relation complète (nλ = 2d·sinθ) avec vos valeurs, afin que vous puissiez vérifier le calcul manuellement.
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Référence
Formule et méthodologie
1 formules▸
Loi de Bragg
nλ = 2d·sinθ
n est l’ordre de diffraction (entier positif), λ la longueur d’onde du rayonnement incident (nm), d la distance entre des plans adjacents du réseau cristallin (nm) et θ l’angle entre le faisceau incident et le plan réticulaire (en degrés) — et non l’angle 2θ lu sur un détecteur DRX. Formules réarrangées : θ = asin(nλ / 2d), λ = 2d·sinθ / n et d = nλ / (2·sinθ).
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Loi de BraggCondition nλ = 2d·sinθ sous laquelle les rayons X (ou d’autres ondes de courte longueur d’onde), diffusés par des plans d’atomes parallèles dans un cristal, interfèrent de façon constructive et produisent un pic de diffraction détectable. Elle a été formulée indépendamment par William Henry Bragg et William Lawrence Bragg en 1913.
Diffraction des rayons X (DRX)Technique d’analyse qui consiste à diriger des rayons X sur un échantillon cristallin et à mesurer les angles et intensités des faisceaux diffractés pour déterminer sa structure atomique, sa composition en phases et la taille des cristallites.
Espacement interréticulaire (d)Distance perpendiculaire entre deux plans parallèles adjacents d’atomes dans un réseau cristallin, indexés par leurs indices de Miller (hkl). Pour les cristaux courants, elle est généralement comprise entre environ 0.1 et 1 nm.
Ordre de diffraction (n)Entier positif (1, 2, 3, …) représentant le nombre entier de longueurs d’onde correspondant à la différence de chemin entre les ondes réfléchies par des plans réticulaires successifs. Les réflexions du premier ordre (n = 1) sont les plus intenses et les plus utilisées.
CristallographieÉtude scientifique de la disposition des atomes dans les solides cristallins, largement rendue possible par les techniques de diffraction des rayons X fondées sur la loi de Bragg.
Interférence constructiveRenforcement d’ondes en phase qui produit une onde d’amplitude plus élevée. La loi de Bragg détermine précisément les angles auxquels les ondes X réfléchies restent en phase et interfèrent de façon constructive.
DiffractogrammeGraphique représentant l’intensité des rayons X diffractés en fonction de l’angle de diffusion (généralement 2θ), obtenu avec un diffractomètre. Chaque pic correspond à un ensemble de plans réticulaires qui satisfait à la loi de Bragg.
Avec un rayonnement Cu Kα (λ ≈ 0.154 nm) diffracté par des plans espacés de 0.314 nm au premier ordre, la loi de Bragg donne sinθ = nλ/2d = 0.154/0.628 ≈ 0.245, soit θ ≈ 14.19°. Un détecteur qui mesure 2θ afficherait un pic vers 28.4° ; une diminution de l’espacement d déplacerait le pic vers un angle plus élevé.
Si un balayage DRX mesure un pic de premier ordre à θ = 14.19° avec la même source Cu Kα, la formule d = nλ/(2·sinθ) donne d ≈ 0.314 nm. Le résultat correspond au calcul direct ci-dessus et confirme l’espacement entre les plans du cristal.
En portant l’ordre à n = 2 tout en gardant λ et d constants, on obtient sinθ = 2(0.154)/0.628 ≈ 0.490, soit θ ≈ 29.4° : l’angle est nettement plus élevé pour la réflexion du second ordre sur les mêmes plans. Si n est assez grand pour que nλ dépasse 2d, sinθ serait supérieur à 1 ; le calculateur indique alors qu’aucune diffraction n’est possible à cet ordre.
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Analyse approfondie
Comprendre la loi de Bragg et la diffraction des rayons X
La loi de Bragg (nλ = 2d·sinθ) est l’équation fondamentale de la cristallographie par rayons X. Elle explique quels angles produisent un pic de diffraction détectable lorsque les rayons X sont diffusés par les plans atomiques d’un cristal. Ce calculateur résout l’équation pour l’une des trois variables — angle, longueur d’onde ou espacement — à partir des deux autres et de l’ordre de diffraction.
Fonctionnement de la loi de Bragg
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Lorsque des rayons X frappent un cristal, ils sont diffusés par des plans successifs d’atomes parallèles. La plupart des ondes diffusées s’annulent par interférence destructive, mais, à certains angles, la différence de chemin entre les ondes réfléchies par deux plans adjacents équivaut à un nombre entier de longueurs d’onde. Ces ondes restent alors en phase et se renforcent, produisant un pic de diffraction mesurable. En 1913, William Lawrence Bragg et son père William Henry Bragg ont formalisé cette condition par nλ = 2d·sinθ : la différence de chemin 2d·sinθ (deux fois l’espacement multiplié par le sinus de l’angle d’incidence) doit correspondre à un multiple entier n de la longueur d’onde λ.
Données saisies et leur signification
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La longueur d’onde (λ) correspond à la raie d’émission caractéristique de la source de rayons X. Le rayonnement Cu Kα (≈0.154 nm ou 1.54 Å) est le plus courant en laboratoire, mais on utilise aussi Mo Kα (≈0.071 nm) et des sources synchrotron. L’espacement interréticulaire (d) dépend des dimensions de la maille cristalline et de la famille de plans étudiée (indices de Miller) ; il est généralement du même ordre de grandeur que la longueur d’onde, ce qui rend possible la diffraction des rayons X. En pratique, l’ordre n vaut presque toujours 1 : les réflexions d’ordre supérieur des mêmes plans sont généralement beaucoup moins intenses et souvent impossibles à distinguer de réflexions du premier ordre d’autres plans. L’angle de diffraction θ est mesuré entre le faisceau incident et le plan réticulaire. La plupart des instruments affichent toutefois 2θ, l’angle entre les faisceaux incident et diffracté ; divisez donc la valeur 2θ par deux avant de la saisir ici.
Limites et cas particuliers
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La loi de Bragg n’a pas de solution lorsque nλ/2d dépasse 1, car le sinus ne peut pas être supérieur à 1. Physiquement, cela signifie que la réflexion de l’ordre choisi est impossible pour cette longueur d’onde et cet espacement : la longueur d’onde des rayons X est trop grande ou l’ordre trop élevé pour l’espacement considéré. Le calculateur signale explicitement ce cas au lieu de renvoyer un angle invalide. La loi de Bragg modélise aussi le cristal comme un empilement simple de plans réfléchissants. À elle seule, elle ne prédit pas l’intensité des pics (qui dépend du facteur de structure cristallin) et ne tient pas compte de la vibration thermique, de l’élargissement lié à la taille des cristallites ou de la diffusion multiple ; ces effets nécessitent la théorie cinématique ou dynamique plus complète de la diffraction.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Que calcule le calculateur de la loi de Bragg ?+
Il résout nλ = 2d·sinθ pour la grandeur choisie — angle de diffraction θ, espacement interréticulaire d ou longueur d’onde λ — à partir des deux autres et de l’ordre de diffraction n. C’est l’équation fondamentale pour interpréter les diffractogrammes de rayons X en cristallographie et en science des matériaux.
Quelle différence y a-t-il entre θ et 2θ ?+
θ est l’angle entre le faisceau X incident et le plan cristallin ; c’est l’angle utilisé directement dans la loi de Bragg. La plupart des diffractomètres affichent 2θ, l’angle entre les faisceaux incident et diffracté mesuré par le détecteur. Si votre instrument indique 2θ, divisez cette valeur par deux avant de la saisir comme angle de diffraction.
Pourquoi le calculateur indique-t-il parfois qu’aucune diffraction n’est possible ?+
Le sinus ne peut pas dépasser 1 ; la loi de Bragg n’a donc pas de solution lorsque n·λ est supérieur à 2d. Cela se produit lorsque la longueur d’onde est trop grande ou l’ordre choisi trop élevé pour l’espacement réticulaire donné. Essayez un ordre inférieur (souvent n = 1) ou vérifiez que les unités de la longueur d’onde et de l’espacement concordent (toutes deux en nanomètres ici).
Quelles unités le calculateur de la loi de Bragg attend-il ?+
La longueur d’onde (λ) et l’espacement interréticulaire (d) doivent être saisis en nanomètres (nm) : 1 nm = 10 ångströms, donc une valeur courante de 1.54 Å (Cu Kα) équivaut à 0.154 nm. L’angle de diffraction (θ) s’exprime en degrés. L’ordre (n) est un entier positif sans unité, généralement égal à 1.
Puis-je partager mes résultats ?+
Oui. Pendant la saisie, le calculateur encode vos données et le mode de résolution dans l’adresse de la page. Il suffit donc de copier l’adresse de la barre du navigateur ou de cliquer sur Partager pour envoyer exactement le même scénario à un collègue.
D’où vient la formule de la loi de Bragg ?+
William Henry Bragg et William Lawrence Bragg ont établi nλ = 2d·sinθ en 1913 pour expliquer la diffraction des rayons X par les cristaux ; ils ont reçu ensemble le prix Nobel de physique en 1915. Cette équation reste une référence en cristallographie et en science des matériaux et sert encore à interpréter les mesures des diffractomètres.
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