Calculez le niveau d’énergie, le rayon et la vitesse orbitaux d’un électron dans un atome hydrogénoïde selon le modèle de Bohr, ainsi que l’énergie de transition entre niveaux.
Energy Level
Nombre quantique principal. 1 = état fondamental, 2 = premier état excité, etc.
Z = 1 pour H, Z = 2 pour He⁺, Z = 3 pour Li²⁺.
Energy levels n=1–6 for Z=1
Level
Eₙ (eV)
rₙ (Å)
Orbital Radius & Velocity
Nombre quantique principal. 1 = état fondamental, 2 = premier état excité, etc.
Z = 1 pour H, Z = 2 pour He⁺, Z = 3 pour Li²⁺.
Transition
Niveau d’énergie initial de l’électron.
Niveau d’énergie final de l’électron. Supérieur à n1 = absorption ; inférieur = émission.
Z = 1 pour H, Z = 2 pour He⁺, Z = 3 pour Li²⁺.
Résultat
—
Enter values above to compute.
4 min de lecture3 étapes7 termes3 exemples6 questionsEₙ = −13.6 · Z² / n² eV
Le modèle de Bohr décrit les électrons liés au noyau comme occupant des niveaux d’énergie quantifiés.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Choisir l’onglet adapté à votre question
Utilisez l’onglet Niveau d’énergie pour obtenir Eₙ à un niveau et pour un élément donnés. L’onglet Rayon et vitesse donne la taille et la vitesse de l’orbite électronique à ce niveau. L’onglet Transition calcule l’énergie et la longueur d’onde du photon absorbé ou émis lors du passage d’un niveau à un autre.
2
Indiquer n et le numéro atomique Z
n est le nombre quantique principal (1 = état fondamental, 2 = premier état excité, etc.) ; saisissez un entier supérieur ou égal à 1. Z est le numéro atomique de l’ion hydrogénoïde (Z=1 pour l’hydrogène, Z=2 pour He⁺, Z=3 pour Li²⁺). Le modèle de Bohr est exact uniquement pour les systèmes à un électron.
3
Lire le résultat et l’échelle des niveaux
La carte de résultat affiche la valeur principale de l’onglet actif ainsi qu’une interprétation en langage courant. Dans l’onglet Niveau d’énergie, le tableau sous les champs indique Eₙ et rₙ pour n=1 à 6 à la même valeur de Z, afin de comparer rapidement les niveaux.
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Référence
Formule et méthodologie
3 formules▸
Énergie du niveau n
Eₙ = −13.6 · Z² / n² eV
Énergie, en électronvolts, d’un électron au niveau n d’un ion hydrogénoïde. La valeur −13.6 eV est l’énergie de Rydberg (énergie de liaison de l’hydrogène à l’état fondamental, Z=1, n=1). Elle est négative parce que l’électron est lié au noyau ; elle tend vers zéro lorsque n→∞, seuil d’ionisation. Exemple : pour l’hydrogène à l’état fondamental, Z=1 et n=1, Eₙ = −13.6 eV exactement, ce qui correspond à l’énergie d’ionisation mesurée.
Rayon orbital et vitesse
rₙ = 0.529 · n² / Z Å; vₙ = 2.188×10⁶ · Z / n m/s
Le rayon de Bohr rₙ (en ångströms) est le rayon classique de l’orbite au niveau n, obtenu à partir de la constante du rayon de Bohr a₀ = 0.529 Å. Il augmente comme le carré de n et diminue quand Z augmente, car un noyau plus chargé attire davantage l’électron. La vitesse orbitale vₙ découle de α·c·Z/n, où α est la constante de structure fine et c la vitesse de la lumière ; pour n=1 et Z=1, elle vaut environ 2,188,000 m/s, soit près de 0.73 % de la vitesse de la lumière.
Énergie échangée lorsque l’électron passe du niveau n1 au niveau n2. Un ΔE positif (n2 > n1) signifie qu’il absorbe un photon pour monter de niveau ; un ΔE négatif (n2 < n1) signifie qu’il émet un photon en descendant. Le calculateur indique la valeur absolue et le sens de la transition. La longueur d’onde utilise l’approximation standard hc ≈ 1240 eV·nm. Exemple : n1=2 → n2=1 pour Z=1 donne une émission de 10.2 eV et λ ≈ 121.6 nm, la raie Lyman-α de l’hydrogène.
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Modèle de BohrPremier modèle quantique de l’atome (Niels Bohr, 1913) selon lequel les électrons ne peuvent orbiter autour du noyau qu’à des niveaux d’énergie quantifiés et fixes, et passent d’un niveau à l’autre en absorbant ou en émettant un photon.
Niveau d’énergieÉtat énergétique discret et quantifié que peut occuper un électron dans un atome, désigné par le nombre quantique principal n = 1, 2, 3, … Plus n est petit, plus l’électron est lié et son énergie basse.
Rayon orbitalDistance entre le noyau et l’orbite de l’électron dans le modèle de Bohr pour un niveau n donné. Elle varie comme n² et diminue quand la charge nucléaire Z augmente.
Rayon de BohrRayon orbital de l’électron dans l’hydrogène à l’état fondamental (n=1, Z=1), une constante physique égale à environ 0.529 Å (5.29×10⁻¹¹ m), souvent notée a₀.
Énergie d’ionisationÉnergie nécessaire pour arracher complètement un électron d’un niveau donné et l’amener à n = ∞ (électron libre, non lié). Pour le niveau n, elle correspond à la valeur absolue de son énergie négative, 13.6·Z²/n² eV.
TransitionPassage d’un électron d’un niveau d’énergie à un autre, accompagné de l’absorption (vers un niveau supérieur) ou de l’émission (vers un niveau inférieur) d’un photon dont l’énergie correspond exactement à la différence entre les niveaux.
Atome hydrogénoïdeAtome ou ion qui possède exactement un électron autour d’un noyau de charge Z, comme H (Z=1), He⁺ (Z=2) ou Li²⁺ (Z=3) ; ce sont les seuls systèmes que le modèle de Bohr simple résout exactement.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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État fondamental de l’hydrogène
Valeur de référence classique
Niveau d’énergie n 1Numéro atomique Z 1
Eₙ = −13.6·1²/1² = −13.6 eV : c’est l’énergie de l’hydrogène à l’état fondamental, valeur de référence pour les autres résultats du modèle de Bohr. Elle est aussi exactement égale à l’énergie d’ionisation de l’hydrogène, car il faut 13.6 eV pour amener l’électron à n=∞.
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Taille de l’orbite à l’état fondamental
Quelle est la taille réelle d’un atome d’hydrogène ?
Niveau d’énergie n 1Numéro atomique Z 1
rₙ = 0.529·1²/1 = 0.529 Å : c’est le rayon de Bohr a₀, la taille classique de l’orbite électronique de l’hydrogène. La vitesse orbitale est d’environ 2,188,000 m/s, soit près de 0.73 % de la vitesse de la lumière, conformément aux valeurs de référence des manuels de chimie et de physique.
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Émission Lyman-α
Un électron descend de n=2 à n=1
Niveau initial n1 2Niveau final n2 1Numéro atomique Z 1
ΔE = 13.6·(1/1² − 1/2²) = 10.2 eV émis, d’où λ = 1240/10.2 ≈ 121.6 nm : la raie Lyman-α de l’hydrogène, dans l’ultraviolet, l’une des raies spectrales les plus étudiées en astrophysique et en spectroscopie de laboratoire.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
Le modèle de Bohr décrit les électrons liés au noyau comme occupant des niveaux d’énergie quantifiés. Ce calculateur applique ses équations aux atomes et ions hydrogénoïdes pour estimer les énergies, les rayons et vitesses orbitaux, ainsi que l’énergie et la longueur d’onde des transitions électroniques.
Pourquoi l’énergie est quantifiée et négative
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Dans le modèle de Bohr, un électron lié à un noyau ne peut occuper que certains niveaux d’énergie discrets, repérés par le nombre quantique principal n = 1, 2, 3, … L’énergie de chaque niveau, Eₙ = −13.6·Z²/n² eV, est négative parce que l’électron est lié : il faut lui fournir une énergie positive pour l’éloigner du noyau. Quand n augmente, Eₙ tend vers zéro ; à n = ∞, l’électron est libre et ionisé. La valeur absolue de Eₙ à chaque niveau est donc aussi l’énergie d’ionisation depuis ce niveau, c’est-à-dire l’énergie nécessaire pour arracher complètement l’électron.
Évolution du rayon et de la vitesse orbitaux
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Le rayon orbital rₙ = 0.529·n²/Z Å augmente comme le carré de n ; les orbites de niveaux élevés sont donc beaucoup plus grandes. L’orbite n=2 a par exemple quatre fois le rayon de celle de n=1. Une charge nucléaire Z plus élevée attire l’électron vers le noyau et réduit rₙ en proportion. La vitesse orbitale vₙ = 2,188×10⁶·Z/n m/s découle de l’équilibre entre l’attraction coulombienne du noyau et la force centripète nécessaire à une trajectoire circulaire. Elle augmente avec Z et diminue avec n : les orbites plus éloignées se déplacent plus lentement.
Lire une transition : absorption ou émission
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L’onglet Transition calcule l’énergie échangée lorsqu’un électron passe du niveau initial n1 au niveau final n2. Si n2 est supérieur à n1, l’électron gagne de l’énergie en absorbant un photon. Si n2 est inférieur à n1, il libère de l’énergie en émettant un photon et rejoint un état plus lié. Le calculateur affiche toujours la valeur absolue de la différence d’énergie avec une mention claire d’absorption ou d’émission, ainsi que la longueur d’onde correspondante selon λ(nm) = 1240/ΔE(eV).
Limites du modèle de Bohr simplifié
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Le modèle de Bohr est exact uniquement pour les systèmes hydrogénoïdes — un seul électron en orbite autour d'un noyau de charge Z, comme l'hydrogène, He⁺ ou Li²⁺. Il ne tient compte ni du spin de l'électron, ni des corrections relativistes, ni de la répulsion électron-électron (écrantage) présente dans tout atome comportant plusieurs électrons ; il ne peut donc pas s'appliquer directement à l'hélium neutre ou aux éléments plus lourds. La mécanique quantique moderne — l'équation de Schrödinger et son extension relativiste, l'équation de Dirac — est nécessaire pour modéliser avec précision les atomes à plusieurs électrons. Toutefois, la formule des niveaux d'énergie du modèle de Bohr reste une approximation initiale remarquablement bonne pour les systèmes à un électron.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule des niveaux d’énergie du modèle de Bohr ?+
Eₙ = −13.6 · Z² / n² électronvolts, où n est le nombre quantique principal (n=1.2,3,…) et Z le numéro atomique de l’ion hydrogénoïde. La valeur est négative parce que l’électron est lié au noyau ; sa valeur absolue correspond à l’énergie d’ionisation depuis ce niveau.
Quelle est l’énergie de l’hydrogène à l’état fondamental ?+
Pour l’hydrogène (Z=1) au niveau le plus bas (n=1), Eₙ = −13.6 eV exactement. C’est l’énergie de Rydberg et aussi l’énergie d’ionisation de l’hydrogène, une des valeurs de référence les plus citées en physique atomique.
Quelle est la formule du rayon orbital de Bohr ?+
rₙ = 0.529 · n² / Z ångströms, où 0.529 Å est le rayon de Bohr a₀, c’est-à-dire le rayon de l’orbite de l’hydrogène à l’état fondamental. Le rayon augmente avec le carré de n et diminue lorsque le numéro atomique Z augmente.
Qu’est-ce qu’une transition électronique, et comment distinguer absorption et émission ?+
Une transition est le passage d’un électron entre deux niveaux d’énergie. Dans l’onglet Transition, passer à un niveau supérieur (n2 supérieur à n1) correspond à une absorption ; passer à un niveau inférieur (n2 inférieur à n1) correspond à une émission. Le calculateur lit l’ordre des valeurs n1 et n2 et indique automatiquement le sens.
Que se passe-t-il lorsque n tend vers l’infini ?+
Lorsque n→∞, Eₙ tend vers zéro : l’électron n’est plus lié au noyau et est ionisé. L’énergie nécessaire pour atteindre cet état depuis le niveau n est l’énergie d’ionisation, 13.6·Z²/n² eV.
Quelles unités ce calculateur utilise-t-il ?+
L’énergie est exprimée en électronvolts (eV), le rayon orbital en ångströms (Å), la vitesse orbitale en mètres par seconde (m/s) et la longueur d’onde de transition en nanomètres (nm), unités courantes dans les manuels de physique atomique et de chimie.
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