Calculateur de l’équation de Bernoulli

L’équation de Bernoulli exprime la conservation de l’énergie d’un fluide en écoulement : P + ½ρv² + ρgh reste constant le long d’une ligne de courant. Les trois termes — pression statique, pression dynamique et pression d’altitude (hydrostatique) — peuvent se compenser, mais leur somme en tout point d’une même ligne de courant est identique à celle de tout autre point de cette ligne.

Comme il s’agit d’une relation de conservation de l’énergie, elle n’est rigoureusement valable que pour un écoulement permanent, incompressible et non visqueux (sans frottement) le long d’une même ligne de courant. Les fluides réels perdent toujours une partie de leur énergie par viscosité : l’équation est donc une idéalisation qui donne de bons résultats lorsque ces pertes sont faibles.

La pression statique (P) est celle qu’indiquerait un manomètre se déplaçant avec le fluide. La pression dynamique (½ρv²) exprime l’énergie cinétique du fluide en mouvement en unités de pression : c’est ce que l’on mesurerait si l’écoulement était brusquement arrêté. La pression d’altitude (ρgh) est le terme hydrostatique familier : la pression augmente avec la profondeur et diminue avec l’altitude.

L’onglet Termes de pression représente côte à côte ces trois composantes aux deux points. On voit facilement, par exemple, qu’une augmentation de vitesse au point 2 est compensée par une baisse de pression statique de même ampleur, tandis que le terme d’altitude reste inchangé si les deux points se trouvent à la même hauteur.

Lorsqu’un fluide passe d’une partie large à une partie étroite d’une conduite, l’équation de continuité (A₁v₁ = A₂v₂) impose une augmentation de sa vitesse : le même volume de fluide doit traverser une ouverture plus petite pendant le même temps. L’équation de Bernoulli exige alors que la pression statique baisse pour compenser cette hausse d’énergie cinétique ; cette chute de pression est l’effet Venturi.

L’onglet Venturi combine directement les deux équations : indiquez la vitesse d’entrée et les deux sections transversales pour calculer en une étape la vitesse au col et la chute de pression correspondantes.

L’équation suppose que le fluide est incompressible (bonne approximation pour les liquides et pour les gaz à des vitesses très inférieures à celle du son), non visqueux (sans frottement interne) et que l’écoulement est permanent (il ne varie pas dans le temps). Les deux points doivent aussi se trouver sur la même ligne de courant. Enfin, aucune énergie extérieure ne doit être ajoutée ou retirée entre eux : la présence d’une pompe ou d’une turbine invaliderait la forme simple utilisée ici.

Les écoulements réels dans les conduites subissent toujours des pertes visqueuses, ignorées par l’équation de Bernoulli. Pour les calculs pratiques d’écoulement en conduite, les ingénieurs ajoutent un terme de correction de « perte de charge » due au frottement. Pour un gaz circulant à grande vitesse, à l’approche de la vitesse du son, les effets de compressibilité invalident également l’hypothèse d’incompressibilité.

Les carburateurs et les aspirateurs utilisent l’effet Venturi pour aspirer du carburant ou prélever un échantillon de fluide : un rétrécissement abaisse la pression précisément à l’endroit où débouche un canal latéral. Les ailes d’avion produisent une partie de leur portance parce que leur face supérieure incurvée accélère l’air (et abaisse la pression) par rapport à la face inférieure, plus plate. Les débitmètres (Venturi ou à plaque à orifice) mesurent le débit à partir de la chute de pression à travers un rétrécissement connu. Enfin, la loi de Torricelli pour la vidange d’un réservoir, v = √(2gh), est simplement l’équation de Bernoulli appliquée à un grand réservoir ouvert, où les pressions à la surface et à la sortie sont égales.