Calculez la contrainte de cisaillement en torsion et l’angle de torsion d’un arbre circulaire plein ou creux soumis à un couple, à partir du moment quadratique polaire.
Shaft
Diamètre de l’arbre rond plein, en millimètres.
Diamètre extérieur du tube, en millimètres.
Diamètre intérieur (alésage) du tube, en millimètres. Il doit être inférieur au diamètre extérieur.
Couple de torsion appliqué, en newtons-mètres.
Longueur de l’arbre sur laquelle agit le couple, en mètres.
Module de cisaillement du matériau, en gigapascals. L’acier vaut environ 79–81 GPa et l’aluminium environ 26 GPa.
Résultat
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Enter the shaft dimensions, torque, length, and shear modulus above to compute.
5 min de lecture4 étapes7 termes3 exemples6 questionsτ = Tr / J
La torsion intervient dès qu’un arbre, un essieu ou une barre transmet un effort de rotation : arbres de transmission, arbres moteurs, fixations boulonnées soumises au serrage ou ressorts de torsion.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
4 étapes▸
1
Choisissez un arbre plein ou creux
Dans la liste, choisissez un arbre plein ou creux (tube). Un arbre plein nécessite un seul diamètre ; un arbre creux nécessite les diamètres extérieur et intérieur, car seules les parties circulaires de matière réellement présentes résistent aux efforts de torsion.
2
Saisissez les dimensions de l’arbre en millimètres
Renseignez le diamètre — ou les diamètres extérieur et intérieur pour un tube — en millimètres. Le calculateur s’en sert pour déterminer le moment quadratique polaire (J) de la section.
3
Saisissez le couple, la longueur et le module de cisaillement
Saisissez le couple appliqué en newtons-mètres, la longueur de l’arbre en mètres et le module de cisaillement du matériau en gigapascals (environ 79–81 GPa pour l’acier et 26 GPa pour l’aluminium). Le calculateur se met à jour instantanément.
4
Consultez le résultat et changez l’onglet si nécessaire
La carte de résultat affiche toujours les trois grandeurs. Dans les onglets « Contrainte de cisaillement », « Angle de torsion » ou « Moment polaire », choisissez celle qui doit apparaître en grand ; les deux autres restent visibles dans la ligne de détail.
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Référence
Formule et méthodologie
3 formules▸
Contrainte de cisaillement en torsion
τ = Tr / J
Sous l’effet d’un couple T, la contrainte de cisaillement τ à la surface d’un arbre circulaire est égale à T multiplié par le rayon extérieur r, puis divisé par le moment quadratique polaire J. Elle est maximale à la surface extérieure et nulle au centre de l’arbre.
Angle de torsion
θ = TL / (GJ)
L’angle de torsion θ (en radians) d’un arbre de longueur L est égal au produit du couple T par L, divisé par le produit du module de cisaillement du matériau G et du moment quadratique polaire J. Le calculateur convertit aussi θ en degrés pour en faciliter la lecture.
Moment quadratique polaire (section circulaire)
J = πd⁴/32 (solid); J = π(D⁴−d⁴)/32 (hollow)
J mesure la répartition de l’aire d’une section circulaire autour de son centre. Pour un arbre plein de diamètre d, J = πd⁴/32. Pour un arbre creux (tube) de diamètre extérieur D et de diamètre intérieur d, on soustrait la contribution du cercle intérieur à celle du cercle extérieur : J = π(D⁴−d⁴)/32.
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
TorsionTorsion d’un objet provoquée par un couple appliqué autour de son axe longitudinal. Elle produit une contrainte de cisaillement qui varie de zéro au centre d’un arbre circulaire jusqu’à son maximum à la surface extérieure.
Angle de torsionRotation angulaire (θ) d’une extrémité de l’arbre par rapport à l’autre, provoquée par un couple appliqué sur sa longueur. La formule utilise les radians ; le résultat est souvent exprimé en degrés.
Moment quadratique polaire (J)Propriété géométrique d’une section qui mesure sa résistance à la torsion, de façon analogue à la résistance à la flexion mesurée par le moment quadratique classique. Plus J est grand, plus la contrainte de cisaillement et l’angle de torsion sont faibles pour un même couple appliqué.
Contrainte de cisaillement en torsionContrainte de cisaillement produite dans un arbre par un couple appliqué, notée τ. Elle est maximale à la surface (τ = Tr/J) et diminue linéairement jusqu’à zéro sur l’axe central.
ArbreÉlément de structure, généralement de section circulaire, qui tourne ou se tord pour transmettre un couple, par exemple un arbre de transmission, un essieu ou une barre de torsion.
Module de cisaillement (G)Aussi appelé module de rigidité, c’est une propriété du matériau qui relie la contrainte de cisaillement à la déformation de cisaillement. Il joue un rôle analogue à celui du module de Young pour les contraintes et déformations normales. Sous un même couple, un matériau ayant un G plus élevé se tord moins.
CoupleAction mécanique de rotation égale à une force appliquée à une certaine distance de l’axe de rotation (force × bras de levier). Le couple se mesure en newtons-mètres (N·m) ; c’est la sollicitation qui provoque la torsion de l’arbre.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Concepteur de machines
Arbre de transmission plein en acier
Type d’arbre PleinDiamètre (d) 50 mmCouple (T) 500 N·mLongueur (L) 1 mModule de cisaillement (G) 79 GPa
J = π(50)⁴/32 ≈ 613,592 mm⁴. τ = Tr/J = (500,000 N·mm × 25 mm) / 613,592 mm⁴ ≈ 20.37 MPa — bien en dessous de la plage de limite d’élasticité en cisaillement d’environ 150–200 MPa des aciers de construction courants ; cet arbre conserve donc une marge confortable sous cette charge.
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Ingénieur en mécanique
Arbre plus long et plus fin : angle de torsion
Type d’arbre PleinDiamètre (d) 40 mmCouple (T) 300 N·mLongueur (L) 1.5 mModule de cisaillement (G) 79 GPa
J = π(40)⁴/32 ≈ 251,327 mm⁴. θ = TL/GJ ≈ 0.0227 rad, soit environ 1.30° de torsion sur 1.5 m. En réduisant le diamètre de 50 mm à 40 mm, J est multiplié par (40/50)⁴ ≈ 0.41 ; une baisse modérée du diamètre provoque donc une torsion beaucoup plus importante pour un couple et une longueur comparables.
J = π(50⁴−40⁴)/32 ≈ 362,265 mm⁴, soit environ 59 % du J de l’arbre plein de 50 mm. Pour le même couple de 500 N·m, τ ≈ 34.50 MPa et θ ≈ 1.00° : la contrainte et la torsion sont environ 1.7 fois plus élevées que dans le premier exemple, mais la quantité de matière utilisée est bien moindre. C’est le compromis classique en torsion : retirer la matière proche du centre, peu efficace pour résister à la torsion, permet généralement de choisir un arbre creux quand le poids compte et que les contraintes et la torsion restent acceptables.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
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MLA
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Analyse approfondie
Comprendre la torsion, la contrainte de cisaillement et l’angle de torsion
La torsion intervient dès qu’un arbre, un essieu ou une barre transmet un effort de rotation : arbres de transmission, arbres moteurs, fixations boulonnées soumises au serrage ou ressorts de torsion. Ce calculateur détermine les deux valeurs que les ingénieurs vérifient en premier : la contrainte de cisaillement à la surface de l’arbre et son angle de torsion sous charge.
Fonctionnement du calculateur de torsion
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Le calculateur détermine d’abord le moment quadratique polaire J de la section circulaire choisie : J = πd⁴/32 pour un arbre plein, ou J = π(D⁴−d⁴)/32 pour un tube creux, où le moment quadratique du cercle intérieur manquant est soustrait de celui du cercle extérieur. À partir de J, il calcule la contrainte de cisaillement en torsion τ = Tr/J à la surface (r est le rayon extérieur, où la contrainte est maximale) et l’angle de torsion θ = TL/(GJ) sur la longueur saisie. Les deux formules supposent un arbre droit, de section circulaire uniforme, soumis à une torsion pure : c’est la théorie élastique classique pour les arbres ronds, essieux et barres de torsion.
Paramètres et signification
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Les diamètres se saisissent en millimètres, le couple en newtons-mètres, la longueur de l’arbre en mètres et le module de cisaillement en gigapascals. Le calculateur convertit les unités en interne pour exprimer la contrainte de cisaillement en mégapascals (MPa) et l’angle de torsion en radians et en degrés. Le diamètre a le plus grand effet sur les deux résultats, car il intervient à la puissance quatre dans le moment quadratique polaire : diviser le diamètre par deux multiplie approximativement la contrainte et la torsion par seize pour un même couple. Le module de cisaillement dépend du matériau : sous la même charge, l’acier (environ 79–81 GPa) se tord beaucoup moins que l’aluminium (environ 26 GPa) ou les plastiques. Pour un arbre dont la rigidité est critique, le choix du matériau compte donc autant que la géométrie.
Limites et cas particuliers
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Ce calculateur traite la torsion pure d’un arbre droit et circulaire (plein ou creux) de section uniforme, dans le domaine élastique. Il ne tient pas compte de la combinaison flexion-torsion, des concentrations de contraintes au niveau des rainures de clavette, épaulements ou trous, des sections non circulaires (qui nécessitent une constante de torsion dépendant de leur forme), ni du flambement des tubes à paroi mince sous torsion. Pour un arbre creux, gardez une épaisseur de paroi raisonnable par rapport au diamètre : un tube très mince peut flamber localement avant d’atteindre la contrainte de cisaillement prévue par cette formule. Comparez toujours la contrainte calculée à la limite d’élasticité en cisaillement du matériau (environ 0.5–0.6 fois sa limite d’élasticité en traction pour les métaux ductiles) en appliquant un coefficient de sécurité approprié. Pour toute conception d’arbre porteur, faites vérifier le calcul par un ingénieur qualifié.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule de la contrainte de cisaillement en torsion ?+
La contrainte de cisaillement en torsion est τ = Tr/J, où T est le couple appliqué, r le rayon extérieur de l’arbre et J le moment quadratique polaire de la section. La contrainte est maximale à la surface (r) et nulle au centre.
Quelle est la formule de l’angle de torsion ?+
L’angle de torsion est θ = TL/(GJ), en radians, où T est le couple, L la longueur de l’arbre, G le module de cisaillement du matériau et J le moment quadratique polaire. Le calculateur convertit aussi θ en degrés.
Comment calculer le moment quadratique polaire ?+
Pour un arbre circulaire plein de diamètre d, J = πd⁴/32. Pour un arbre creux (tube) de diamètre extérieur D et de diamètre intérieur d, J = π(D⁴−d⁴)/32 : on soustrait le moment quadratique du cercle intérieur manquant de celui du cercle extérieur.
Quelle différence entre un arbre creux et un arbre plein ?+
À diamètre extérieur identique, un arbre creux a un moment quadratique polaire inférieur à celui d’un arbre plein ; il subit donc davantage de contraintes et de torsion sous un même couple, mais nécessite beaucoup moins de matière. Comme la matière proche du centre contribue peu à la résistance en torsion, un arbre creux est généralement plus économe en matière si l’augmentation de la contrainte et de la torsion reste acceptable.
Quelles unités ce calculateur utilise-t-il ?+
Les diamètres se saisissent en millimètres, le couple en newtons-mètres (N·m), la longueur de l’arbre en mètres et le module de cisaillement en gigapascals (GPa). Les résultats sont exprimés en mégapascals (MPa) pour la contrainte, en degrés (et radians) pour l’angle de torsion et en mm⁴ pour le moment quadratique polaire.
Qu’est-ce qui rend un arbre plus rigide en torsion ?+
La rigidité en torsion augmente avec le moment quadratique polaire J (un diamètre plus grand a de loin le plus grand effet, car J varie selon la puissance quatre du diamètre) et avec le module de cisaillement G, plus élevé pour un matériau plus rigide. Un arbre plus court se tord également moins sous le même couple, car l’angle de torsion est directement proportionnel à sa longueur.
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