Calculez la fréquence propre d’un système ressort-masse ou d’une poutre en porte-à-faux, ainsi que la fréquence angulaire et la période. Vous pouvez aussi convertir directement entre fréquence, fréquence angulaire et période.
Spring-Mass — f = (1/2π)√(k/m)
Force nécessaire pour déplacer le ressort d’une unité.
Masse fixée au ressort.
Cantilever Beam — first vibration mode
Module d’élasticité du matériau de la poutre (p. ex. 200 GPa pour l’acier).
Second moment de la section transversale de la poutre.
Masse répartie de la poutre par unité de longueur.
Longueur de la poutre en porte-à-faux, encastrée à une extrémité.
Convert frequency, period, or angular frequency
Fréquence propre connue en hertz (cycles par seconde).
Durée connue d’un cycle complet, en secondes.
Fréquence angulaire connue en radians par seconde.
Résultat
—
Enter values above to compute.
5 min de lecture4 étapes7 termes3 exemples6 questionsf = (1/2π) √(k/m)
Tout système mécanique — ressort portant une masse, poutre fixée à un mur, tablier de pont ou corde de guitare — possède une ou plusieurs fréquences propres auxquelles il a tendance à vibrer lorsqu’il est perturbé.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
4 étapes▸
1
Choisissez un mode de calcul
Choisissez l’onglet Ressort-masse pour une masse ponctuelle fixée à un ressort (raideur et masse). Choisissez Poutre en porte-à-faux pour analyser une poutre encastrée à une extrémité (module de Young, moment d’inertie, masse linéique et longueur). Choisissez Période si vous connaissez déjà la fréquence, la période ou la fréquence angulaire et souhaitez calculer les deux autres.
2
Saisissez vos valeurs
Dans l’onglet Ressort-masse, saisissez la raideur (k) en newtons par mètre et la masse (m) en kilogrammes. Dans l’onglet Poutre en porte-à-faux, saisissez le module de Young du matériau, le moment d’inertie de la poutre, sa masse par unité de longueur et sa longueur. Le calculateur se met à jour à mesure que vous saisissez les valeurs.
3
Consultez le résultat
La carte de résultat affiche la fréquence propre (f) en hertz, la fréquence angulaire (ω) en radians par seconde et la période (T) en secondes. La ligne d’interprétation explique simplement le risque de résonance.
4
Convertissez fréquence, période et fréquence angulaire
Passez à l’onglet Période et choisissez la valeur connue — fréquence, période ou fréquence angulaire — pour que le calculateur détermine les deux autres à l’aide de f = 1/T et ω = 2πf.
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Référence
Formule et méthodologie
2 formules▸
Système ressort-masse
f = (1/2π) √(k/m)
La fréquence propre (f) d’un système ressort-masse non amorti dépend de la raideur du ressort (k, en newtons par mètre) et de la masse fixée (m, en kilogrammes). Un ressort plus raide ou une masse plus légère augmente la fréquence propre.
Poutre en porte-à-faux (premier mode)
f₁ = (λ₁² / 2πL²) √(EI/μ)
La fréquence propre du premier mode d’une poutre uniforme en porte-à-faux (encastrée à une extrémité, libre à l’autre) dépend du module de Young (E), du moment d’inertie de la section (I), de la masse linéique de la poutre (μ) et de sa longueur (L). λ₁ ≈ 1.875104 est la valeur propre du premier mode du problème aux limites de la poutre en porte-à-faux, une constante standard de la théorie des poutres d’Euler-Bernoulli.
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Fréquence propreFréquence à laquelle un système oscille après avoir été déplacé puis relâché, sans force excitatrice externe et sans tenir compte de l’amortissement. Elle est notée f et mesurée en hertz (Hz, cycles par seconde).
RésonanceRéponse de grande amplitude qui survient lorsqu’une force externe excite un système à sa fréquence propre ou à proximité. Éviter la résonance est un enjeu important de conception en génie mécanique et structurel.
Fréquence angulaireFréquence propre exprimée en radians par seconde plutôt qu’en cycles par seconde. Elle est liée à la fréquence par ω = 2πf et intervient directement dans les équations du mouvement des systèmes vibrants.
Constante de raideur du ressortAussi appelée raideur (k), c’est la force nécessaire pour déplacer un ressort d’une unité de longueur. Elle se mesure en newtons par mètre (N/m). Plus k est élevé, plus le ressort est raide et plus sa fréquence propre est élevée pour une masse donnée.
Porte-à-fauxPoutre ou élément structural encastré (maintenu rigidement) à une extrémité et libre à l’autre. Les poutres en porte-à-faux sont courantes en génie structurel, des balcons aux ailes d’avion, et possèdent leurs propres modes de vibration.
Mode de vibrationForme et fréquence particulières auxquelles une structure continue, comme une poutre, oscille naturellement. Le premier mode est le plus simple et a la fréquence la plus basse ; les modes supérieurs ont des fréquences progressivement plus élevées et des formes plus complexes.
PériodeTemps nécessaire pour effectuer un cycle complet d’oscillation, noté T et mesuré en secondes. La période et la fréquence sont réciproques : T = 1/f.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Ingénieur mécanicien
Vérification d’un composant monté sur ressort
Raideur du ressort (k) 1,000 N/mMasse (m) 5 kg
f = (1/2π)√(1000/5) = (1/2π)√200 ≈ 2.25 Hz. Si le composant subit des vibrations proches de 2.25 Hz (par exemple, celles d’un moteur voisin), il risque d’entrer en résonance et devrait être repensé ou isolé.
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Ingénieur en structure
Estimation du premier mode d’une poutre en acier en porte-à-faux
Module de Young (E) 200 GPaMoment d’inertie (I) 500,000 mm⁴Masse linéique (μ) 5 kg/mLongueur (L) 1 m
f₁ = (1.875²/2π·1²)√(200e9×5e-7/5) ≈ 79.1 Hz. Il s’agit de la fréquence propre la plus basse de la poutre (premier mode), celle à laquelle elle vibrerait si on la faisait fléchir comme un plongeoir.
🧮
Étudiant
Conversion d’une période mesurée en fréquence
Période (T) 0.2 s
Dans l’onglet Période, avec « Depuis la période » : f = 1/T = 1/0.2 = 5 Hz et ω = 2πf ≈ 31.42 rad/s. Cela correspond à un système dont le rapport entre la raideur du ressort et la masse est k/m = (2π×5)² ≈ 987 (s⁻²).
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
Tout système mécanique — ressort portant une masse, poutre fixée à un mur, tablier de pont ou corde de guitare — possède une ou plusieurs fréquences propres auxquelles il a tendance à vibrer lorsqu’il est perturbé. Il est important de les connaître, car exciter un système à une fréquence proche provoque une résonance susceptible d’amplifier les vibrations jusqu’à des niveaux dommageables. Ce calculateur détermine la fréquence propre dans deux cas courants (système ressort-masse et poutre en porte-à-faux) et convertit fréquence, fréquence angulaire et période.
Comment fonctionne le calculateur de fréquence propre
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Pour un système simple ressort-masse, la fréquence propre découle directement de la deuxième loi de Newton appliquée au mouvement harmonique simple : f = (1/2π)√(k/m). Un ressort plus raide (k plus élevé) augmente la fréquence ; une masse plus lourde (m plus élevé) la réduit. Pour une structure continue comme une poutre en porte-à-faux, le principe est le même, mais la raideur propre de la poutre et sa masse répartie remplacent le ressort ponctuel et la masse concentrée. La formule du premier mode, f₁ = (λ₁²/2πL²)√(EI/μ), provient de la résolution de l’équation de poutre d’Euler-Bernoulli avec des conditions aux limites de porte-à-faux (encastrée-libre) ; λ₁ ≈ 1.875104 est la première racine de ce problème aux limites, une constante répertoriée dans les références d’ingénierie des vibrations.
Paramètres et signification
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La raideur du ressort (k) se saisit en newtons par mètre et la masse (m) en kilogrammes. Pour la poutre en porte-à-faux, le module de Young (E) se saisit en gigapascals (propriété du matériau : environ 200 GPa pour l’acier de construction), le moment d’inertie (I) en millimètres à la puissance quatre (propriété de la forme de la section), la masse linéique (μ) en kilogrammes par mètre et la longueur (L) en mètres. Dans l’onglet Période, saisissez la seule grandeur connue — fréquence en hertz, période en secondes ou fréquence angulaire en radians par seconde — et le calculateur détermine les deux autres à l’aide de f = 1/T et ω = 2πf.
Limites et cas particuliers
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Les deux formules supposent l’absence d’amortissement. Les systèmes réels perdent une partie de leur énergie par friction et par amortissement du matériau, ce qui réduit légèrement la fréquence observée et atténue progressivement les oscillations ; ce calculateur ne modélise pas cette atténuation. La formule de la poutre en porte-à-faux ne renvoie que le premier mode de vibration (le plus bas) ; une poutre réelle possède une infinité de modes supérieurs, à des fréquences plus élevées, chacun faisant intervenir une valeur propre différente de λ₁. La formule suppose aussi une section uniforme sur toute la longueur et de faibles déformations dans la plage élastique. Elle fournit une estimation pour les poutres effilées, composites ou fortement chargées, et ne remplace pas une analyse modale complète.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule de la fréquence propre ?+
Pour un système ressort-masse, f = (1/2π)√(k/m), où k est la raideur du ressort en N/m et m la masse en kilogrammes. Pour le premier mode de vibration d’une poutre en porte-à-faux, f₁ = (λ₁²/2πL²)√(EI/μ), où λ₁ ≈ 1.875104.
Qu’est-ce que la résonance et pourquoi est-elle importante ?+
La résonance se produit lorsqu’une force externe excite un système à sa fréquence propre, ou à une fréquence très proche, et fait croître l’amplitude des vibrations bien au-delà de ce que laisserait prévoir la force seule. Les ingénieurs vérifient la fréquence propre pour éviter qu’une structure entre en résonance dans des conditions normales d’utilisation, par exemple à la vitesse de rotation d’un moteur ou sous le passage des piétons sur une passerelle.
Un ressort ou une poutre plus raide donne-t-il une fréquence propre plus élevée ?+
Oui. La fréquence propre est proportionnelle à la racine carrée de la raideur (ou du module de Young et du moment d’inertie pour une poutre) et inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse. À toutes choses égales par ailleurs, un système plus raide vibre plus vite et un système plus lourd, plus lentement.
Pourquoi le calcul de la poutre en porte-à-faux utilise-t-il une constante comme 1.875 ?+
Cette valeur (λ₁ ≈ 1.875104) est la première racine de l’équation caractéristique d’une poutre en porte-à-faux (encastrée-libre) selon la théorie des vibrations d’Euler-Bernoulli. Elle correspond au premier mode de vibration (le plus bas) et aux conditions aux limites encastrée-libre ; d’autres appuis (comme les appuis simples aux deux extrémités) utilisent d’autres constantes répertoriées.
Quelles unités utilise le calculateur de fréquence propre ?+
La fréquence propre s’affiche en hertz (Hz), la fréquence angulaire en radians par seconde (rad/s) et la période en secondes (s). La raideur du ressort se saisit en N/m, la masse en kg, le module de Young en GPa, le moment d’inertie en mm⁴ et la masse linéique en kg/m.
Ce calculateur tient-il compte de l’amortissement ?+
Non. Cette version calcule la fréquence propre non amortie, valeur de référence que les ingénieurs comparent à la fréquence excitatrice. Les systèmes réels présentent un certain amortissement, qui réduit légèrement la fréquence de résonance réelle et atténue les vibrations libres au fil du temps ; cet effet n’est pas modélisé ici.
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