La demi-vie résume à elle seule la vitesse de décroissance d’une substance — qu’il s’agisse d’un isotope radioactif, d’un médicament dans le sang ou de tout processus qui perd une fraction constante à intervalle régulier. Ce calculateur résout la loi de décroissance exponentielle pour toute variable inconnue et exprime le résultat sous forme de constante de décroissance, de durée de vie moyenne et de pourcentage restant. Ce guide explique les liens entre ces valeurs, le fonctionnement de la datation au radiocarbone et la signification des « cinq demi-vies » pour les médicaments.
Fonctionnement de la décroissance exponentielle
La désintégration radioactive et l’élimination des médicaments selon une cinétique d’ordre un suivent la même règle : à chaque intervalle fixe, une fraction constante de la quantité restante disparaît. Après une demi-vie, il en reste 50 % ; après deux, 25 % ; après trois, 12.5 % ; et ainsi de suite, sans jamais atteindre exactement zéro. L’équation correspondante est N = N₀ · (½)^(t/t½). Point essentiel : la demi-vie ne dépend pas de la quantité initiale. Un gramme de cobalt 60 et un kilogramme de cobalt 60 perdent tous deux la moitié de leurs atomes en 5.27 ans. Comme la même fraction disparaît à chaque intervalle, la représentation de la quantité en fonction du temps forme la courbe exponentielle visible dans l’onglet Courbe de décroissance. Sur une échelle logarithmique, cette courbe devient une droite dont la pente correspond à la constante de décroissance.
Demi-vie, constante de décroissance et durée de vie moyenne
Trois valeurs décrivent la même décroissance. La demi-vie t½ est la plus intuitive : c’est le temps nécessaire pour que la moitié de l’échantillon disparaisse. La constante de décroissance λ = ln(2)/t½ est la probabilité, par unité de temps, qu’un atome donné se désintègre ; elle apparaît dans la loi fondamentale dN/dt = −λN. La durée de vie moyenne τ = 1/λ = t½/ln(2) est le temps moyen de survie d’un atome ; elle vaut toujours environ 1,443 fois la demi-vie. Après une durée de vie moyenne, il reste exactement 1/e ≈ 36.8 % de l’échantillon. L’activité d’une source — son nombre de désintégrations par seconde — est A = λN. À nombre d’atomes égal, une demi-vie courte signifie donc une activité élevée. Ce calculateur affiche les trois valeurs pour passer de λ, utilisée en physique, à t½, utilisée en clinique, et à τ, utilisée en statistique, sans avoir à les recalculer.
Datation au radiocarbone et horloges géologiques
Résoudre la loi de décroissance en fonction du temps transforme la demi-vie en horloge. Les êtres vivants absorbent du carbone 14 présent dans l’atmosphère. À leur mort, le C-14 (demi-vie de 5,730 ans) se désintègre sans être remplacé ; la fraction restante révèle donc l’âge de l’échantillon. Une fraction mesurée de 25 % correspond à deux demi-vies, soit environ 11,460 ans. Des isotopes à durée de vie plus longue permettent de dater des périodes plus anciennes : le potassium 40 (1.25 milliard d’années) et l’uranium 238 (4.468 milliards d’années) servent à dater les roches et les météorites. La datation par l’U-238 a établi l’âge de la Terre à environ 4.54 milliards d’années. Chaque méthode possède une plage d’utilisation — environ un dixième à dix demi-vies — au-delà de laquelle il reste trop ou trop peu de matière pour obtenir une mesure précise. Aucun isotope ne permet donc de dater toutes les périodes.
Demi-vie des médicaments et règle des cinq demi-vies
La plupart des médicaments quittent l’organisme selon une cinétique d’ordre un ; les mêmes calculs s’appliquent donc. Deux règles pratiques en découlent. Premièrement, une dose unique est éliminée à environ 97 % après cinq demi-vies (il en reste 3,125 %) et presque entièrement — à plus de 99 % — après environ sept demi-vies. Deuxièmement, avec des prises régulières, la concentration sanguine augmente puis atteint un état d’équilibre après environ cinq demi-vies : c’est le temps nécessaire pour que la quantité éliminée rejoigne la dose ajoutée. La caféine, dont la demi-vie est d’environ 5 heures, atteint cet état en une journée environ ; la fluoxétine, dont la demi-vie est de 4 jours, prend plusieurs semaines. L’onglet Demi-vie du médicament estime l’élimination et le délai avant l’état d’équilibre. La pharmacocinétique réelle varie toutefois selon l’âge, le fonctionnement des organes et la génétique ; certaines substances, notamment l’alcool et la phénytoïne, ne suivent pas une décroissance d’ordre un. Ces valeurs sont fournies à titre informatif et ne constituent pas un avis médical.
Cas limites et limites du modèle
Certaines situations ne correspondent pas au modèle simple. La quantité restante ne peut jamais dépasser la quantité initiale ; si vous demandez au calculateur de déterminer le temps ou la demi-vie avec N > N₀, il signale des valeurs invalides, car la décroissance ne fait que retirer de la matière. Une demi-vie nulle ou négative n’a pas de sens physique et est également rejetée. Le modèle suppose en outre un processus de décroissance unique et pur : il ne traite pas les chaînes où un isotope fils est lui-même radioactif (équilibre séculaire), les mélanges d’isotopes aux demi-vies différentes ni les demi-vies biologiques combinant métabolisme et excrétion. Dans ces cas, la loi simple fournit une première approximation utile, mais une analyse précise nécessite un modèle spécialisé.