Calculez la contraction relativiste des longueurs (le raccourcissement apparent d’un objet en mouvement) à partir de sa longueur propre et de sa vitesse, ainsi que le facteur de Lorentz associé.
Contracted Length — L = L₀ √(1 − v²/c²)
Longueur de l’objet mesurée dans son propre référentiel de repos (toute unité de longueur ; le résultat est exprimé dans la même unité).
Vitesse relative dans la direction du mouvement. Le changement d’unité convertit automatiquement la valeur.
Lorentz Factor — γ = 1 / √(1 − v²/c²)
Vitesse relative. Le facteur gamma (γ) détermine aussi la dilatation du temps à cette vitesse.
Velocity Sweep — contraction at preset speeds
Longueur propre utilisée pour calculer la longueur contractée à chacune des vitesses prédéfinies inférieures à c.
Velocity
Lorentz factor (γ)
Contracted length
% of L₀ remaining
Résultat
—
Enter values above to compute.
4 min de lecture3 étapes6 termes3 exemples6 questionsL = L₀ × √(1 − v²/c²) = L₀ / γ
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Saisissez la longueur propre et la vitesse
Dans l’onglet « Longueur contractée », saisissez la longueur propre de l’objet (L₀), mesurée au repos dans son référentiel, et sa vitesse relative (v). Choisissez une vitesse en fraction de c (par exemple 0.6) ou en m/s ; le calculateur convertit automatiquement la valeur lors du changement d’unité.
2
Consultez la longueur contractée et le facteur de Lorentz
La carte de résultat indique la longueur contractée, mesurée par un observateur immobile qui voit l’objet se déplacer, ainsi que le facteur de Lorentz (γ) utilisé. Une phrase indique en langage courant le pourcentage de raccourcissement.
3
Comparez les vitesses
L’onglet « Facteur de Lorentz » affiche γ et le rapport de contraction selon la vitesse. L’onglet « Balayage des vitesses » compare la contraction à plusieurs vitesses prédéfinies, de 10 % à 99.9 % de c.
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Référence
Formule et méthodologie
2 formules▸
Contraction des longueurs
L = L₀ × √(1 − v²/c²) = L₀ / γ
L est la longueur contractée mesurée par un observateur par rapport auquel l’objet se déplace ; L₀ est la longueur propre mesurée au repos dans le référentiel de l’objet ; v est la vitesse relative ; c est la vitesse de la lumière (299,792,458 m/s). La contraction concerne uniquement la direction du mouvement ; les dimensions perpendiculaires restent inchangées.
Facteur de Lorentz
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
Le facteur de Lorentz γ passe de 1 au repos et tend vers l’infini lorsque v approche c. Pour une vitesse donnée, il détermine la contraction des longueurs (division par γ) et la dilatation du temps (multiplication par γ).
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Glossaire
Termes clés expliqués
6 termes▸
Contraction des longueursEffet relativiste selon lequel la longueur d’un objet, mesurée dans la direction de son mouvement, paraît plus courte à un observateur par rapport auquel l’objet se déplace que dans son référentiel de repos.
Facteur de Lorentz (γ)Facteur d’échelle sans dimension γ = 1/√(1 − v²/c²), qui détermine la contraction des longueurs et la dilatation du temps en relativité restreinte. γ = 1 au repos et augmente sans limite lorsque v approche la vitesse de la lumière.
Longueur propreLongueur d’un objet mesurée par un observateur au repos par rapport à celui-ci ; c’est la plus grande longueur mesurée. Tout observateur en mouvement relatif mesure une longueur plus courte (contractée).
Relativité restreinteThéorie d’Einstein publiée en 1905 qui décrit comment les mesures de l’espace et du temps changent entre des observateurs en mouvement rectiligne uniforme. Elle repose notamment sur le postulat que la vitesse de la lumière est identique pour tous les observateurs.
Vitesse de la lumière (c)Vitesse de propagation de la lumière dans le vide : exactement 299,792,458 mètres par seconde. Aucun objet doté d’une masse ne peut atteindre ou dépasser c ; les effets relativistes deviennent significatifs lorsque v approche une fraction notable de c.
RéférentielSystème de coordonnées et ensemble d’horloges utilisés par un observateur pour mesurer positions, temps et longueurs. La contraction dépend du référentiel : celui de repos de l’objet mesure sa longueur propre, tandis qu’un référentiel par rapport auquel il se déplace mesure une longueur plus courte.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Étudiant en physique
Vaisseau spatial à 86.6 % de la vitesse de la lumière
Longueur propre (L₀) 10 mVitesse (v) 0.866c
À v = 0.866c, le facteur de Lorentz γ ≈ 2.00 ; le vaisseau de 10 m paraît donc mesurer environ 5 m, soit la moitié de sa longueur propre, à un observateur qui le voit passer.
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Chercheur en relativité
Faisceau de particules proche de la vitesse de la lumière
Longueur propre (L₀) 10 mVitesse (v) 0.99c
À v = 0.99c, γ ≈ 7.09 ; la longueur tombe à environ 14.1 % de la longueur propre, soit environ 1.41 m au lieu de 10 m. La contraction s’accentue lorsque v approche c.
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Voyageur ordinaire
Avion de ligne en vitesse de croisière
Longueur propre (L₀) 100 mVitesse (v) 250 m/s
À 250 m/s, un avion n’atteint qu’environ 0.000083 % de la vitesse de la lumière. À la précision habituelle, γ est indiscernable de 1 et la contraction est négligeable.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
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APA
MLA
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Analyse approfondie
Comprendre la contraction des longueurs et le facteur de Lorentz
La contraction des longueurs est l’un des deux effets emblématiques de la relativité restreinte d’Einstein, avec la dilatation du temps : un objet en mouvement relatif à un observateur est mesuré plus court dans la direction de son mouvement que lorsqu’il est au repos. Ce calculateur détermine la longueur contractée, le facteur de Lorentz et l’évolution de la contraction selon la vitesse.
Fonctionnement de la contraction des longueurs
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La contraction des longueurs découle du postulat selon lequel la vitesse de la lumière est constante pour tous les observateurs. Si deux observateurs mesurent la même vitesse de la lumière, ils ne peuvent pas mesurer les distances et les durées comme le prévoit la mécanique classique. La formule L = L₀√(1 − v²/c²) l’exprime : la longueur contractée L, mesurée par un observateur par rapport auquel l’objet se déplace, est toujours inférieure ou égale à la longueur propre L₀. Elles ne sont égales que lorsque v = 0.
La contraction est relative et ne concerne que la dimension parallèle au mouvement. Un observateur qui accompagne l’objet mesure toujours sa longueur propre complète : pour lui, l’objet ne s’est pas contracté. Seuls les observateurs qui voient l’objet se déplacer mesurent une longueur plus courte.
Le facteur de Lorentz relie contraction et dilatation du temps
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Le facteur de Lorentz γ = 1/√(1 − v²/c²) détermine les deux principaux effets relativistes pour une vitesse donnée : les longueurs sont divisées par γ (contraction), tandis que les durées sont multipliées par γ (dilatation). Aux vitesses courantes, γ est si proche de 1 que ces effets sont impossibles à mesurer sans instruments extrêmement précis. Il augmente sensiblement lorsque v approche une fraction importante de c : γ atteint 2 vers 86.6 % de c et tend vers l’infini lorsque v approche c.
Saisies, unités et limites
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La longueur propre peut être saisie dans toute unité cohérente (mètres, pieds, etc.) ; la longueur contractée est exprimée dans la même unité. La vitesse peut être indiquée comme fraction de c (entre 0 et juste en dessous de 1) ou en m/s ; le calculateur convertit automatiquement lors du changement d’unité. La formule n’est pas définie à la vitesse de la lumière ou au-delà, qu’aucun objet doté d’une masse ne peut atteindre ; le calculateur signale toute vitesse égale ou supérieure à c au lieu de fournir un résultat. Dans les situations courantes — véhicules, avions et engins spatiaux en orbite — le rapport v/c est si faible que la contraction est indétectable. Elle devient significative dans les accélérateurs de particules, les rayons cosmiques et les expériences de pensée sur les déplacements proches de la vitesse de la lumière.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule de la contraction des longueurs ?+
L = L₀√(1 − v²/c²), où L est la longueur contractée mesurée par un observateur par rapport auquel l’objet se déplace, L₀ la longueur propre (au repos), v la vitesse relative et c la vitesse de la lumière. De façon équivalente, L = L₀/γ, où γ est le facteur de Lorentz.
De combien un objet se contracte-t-il à 0.866c ?+
À v = 0.866c, γ ≈ 2.00 ; la longueur mesurée est à peu près divisée par deux, soit environ 50 % de moins que la longueur propre dans la direction du mouvement.
La contraction des longueurs se produit-elle dans toutes les directions ?+
Non. Elle ne concerne que la direction du mouvement relatif. Les dimensions perpendiculaires au mouvement, comme la hauteur et la largeur d’un objet se déplaçant horizontalement, ne changent pas.
La contraction des longueurs est-elle visible aux vitesses courantes ?+
Non. Pour une voiture, un avion ou même une fusée, v/c est une fraction infime ; le facteur de Lorentz est indiscernable de 1 et la contraction est trop faible pour être détectée sans instruments extrêmement sensibles.
Quelles unités le calculateur utilise-t-il ?+
La longueur propre peut être exprimée dans toute unité cohérente ; la longueur contractée est renvoyée dans la même unité. La vitesse peut être exprimée en fraction de c, entre 0 et juste en dessous de 1, ou en mètres par seconde. Le sélecteur convertit automatiquement la valeur saisie.
Que se passe-t-il lorsque la vitesse approche celle de la lumière ?+
Lorsque v approche c, γ augmente sans limite et L tend vers zéro. À c ou au-delà, la formule n’est pas définie : aucun objet doté d’une masse ne peut atteindre la vitesse de la lumière. Le calculateur bloque donc ces valeurs.
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