Trouvez les coordonnées (cos θ, sin θ) de tout angle sur le cercle trigonométrique, ainsi que son angle de référence, son quadrant et sa forme symbolique exacte, en degrés ou en radians.
Angle
Tout nombre réel convient : les angles négatifs et les angles supérieurs à 360° (ou 2π) reviennent automatiquement sur le cercle.
Try:
(cos θ, sin θ)
—
Enter an angle above to compute.
x = cos θ—
y = sin θ—
tan θ—
Enter an angle to see its coordinates on the unit circle.
Unit circle diagram
Angle de référence
—
Enter an angle above to compute.
Quadrant—
Angle (normalisé, °)—
Angle (normalisé, rad)—
Enter an angle to find its reference angle and quadrant.
Your angle vs. its reference angle
Votre angle——
Angle de référence (toujours dans le quadrant I)——
The reference angle always gives the same coordinate magnitudes — only the signs change by quadrant.
forme exacte
—
Enter an angle above to compute.
cos θ exact—
sin θ exact—
Radians (forme π)—
Enter an angle to see its exact symbolic coordinates, if it is a standard angle.
Standard angles reference
Degrees
Radians
cos θ
sin θ
5 min de lecture4 étapes7 termes3 exemples6 questions(x, y) = (cos θ, sin θ)
Le cercle trigonométrique relie toutes les notions angulaires de la trigonométrie : valeurs du sinus et du cosinus, angles de référence, signes selon le quadrant et mesure en radians.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
4 étapes▸
1
Saisissez votre angle
Saisissez un angle quelconque, positif ou négatif, quelle que soit sa valeur. Choisissez les degrés ou les radians avec le sélecteur d’unité. Le résultat s’actualise au fur et à mesure de la saisie.
2
Lisez les coordonnées
L’onglet Coordonnées affiche le point (cos θ, sin θ) où le côté terminal de votre angle coupe le cercle trigonométrique, ainsi que tan θ et un petit diagramme représentant l’angle sur le cercle.
3
Vérifiez l’angle de référence et le quadrant
Passez à l’onglet Angle de référence pour voir l’angle aigu formé entre le côté terminal et l’axe des x, le quadrant correspondant et une comparaison côte à côte avec l’angle équivalent du premier quadrant.
4
Consultez la forme exacte
Si votre angle est un multiple de 30° ou de 45° (l’un des 16 angles remarquables), l’onglet Valeurs exactes affiche le résultat symbolique — par exemple √3/2 au lieu de 0.8660 — ainsi que le tableau de référence complet des angles usuels.
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Référence
Formule et méthodologie
3 formules▸
Coordonnées sur le cercle trigonométrique
(x, y) = (cos θ, sin θ)
Pour tout angle θ mesuré dans le sens antihoraire à partir de l’axe des x positif, le côté terminal coupe le cercle trigonométrique (de rayon 1 et centré à l’origine) au point (cos θ, sin θ). C’est la définition du cosinus et du sinus utilisée en trigonométrie, en calcul et en physique ; elle étend les définitions du triangle rectangle à tous les angles, y compris ceux supérieurs à 90° et les angles négatifs.
Angle de référence
ref(θ) = min(θ mod 180°, 180° − (θ mod 180°))
L’angle de référence est l’angle aigu (0°–90°) entre le côté terminal et l’axe des x. Il correspond à θ dans le quadrant I, à 180° − θ dans le quadrant II, à θ − 180° dans le quadrant III et à 360° − θ dans le quadrant IV. Le cosinus et le sinus d’un angle sont égaux à ±cos et ±sin de son angle de référence ; seul le signe change.
Tangente
tan θ = sin θ / cos θ
La tangente n’est pas définie lorsque cos θ = 0, soit à 90° et 270° (ainsi qu’aux angles coterminaux), car son calcul nécessiterait une division par zéro. Pour tous les autres angles, elle correspond au rapport entre la coordonnée y et la coordonnée x sur le cercle trigonométrique.
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Cercle trigonométriqueCercle de rayon 1 centré à l’origine (0, 0) du plan de coordonnées. Pour chaque angle tracé depuis l’axe des x positif, le côté terminal coupe ce cercle en un seul point, (cos θ, sin θ).
Angle de référenceAngle aigu positif (entre 0° et 90°) formé entre le côté terminal d’un angle et l’axe des x. Il permet de trouver les valeurs trigonométriques exactes de n’importe quel angle en le ramenant à un angle du premier quadrant.
QuadrantUne des quatre régions du plan délimitées par les axes x et y, numérotées I à IV dans le sens antihoraire à partir du coin supérieur droit. Dans le quadrant I, les deux coordonnées sont positives ; dans le II, x est négatif et y positif ; dans le III, les deux sont négatives ; dans le IV, x est positif et y négatif (règle ASTC : toutes les fonctions, le sinus, la tangente et le cosinus sont positifs respectivement dans les quadrants I à IV).
Côté terminalDemi-droite atteinte par un angle mesuré dans le sens antihoraire à partir de l’axe des x positif (le « côté initial »). Le point où le côté terminal coupe le cercle trigonométrique donne les coordonnées (cos, sin) de l’angle.
Angles coterminauxAngles qui partagent le même côté terminal parce qu’ils diffèrent d’un tour complet : 30° et 390° (30° + 360°) sont coterminaux, tout comme 30° et −330°. Les angles coterminaux ont toujours les mêmes valeurs de cos, sin et tan.
RadianUnité de mesure d’un angle dans laquelle un tour complet vaut 2π radians (≈6,2832), au lieu de 360°. Le radian est l’unité naturelle en calcul et en physique car il relie directement la longueur d’arc au rayon (longueur d’arc = rayon × angle en radians).
Valeur exacteValeur trigonométrique exprimée sous forme d’une fraction symbolique ou d’un radical précis (comme √2/2 ou 1/2), plutôt qu’en décimale arrondie (0.7071). Les angles multiples de 30° ou 45° ont des valeurs exactes dérivées des rapports des triangles 30-60-90 et 45-45-90.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Étudiant en trigonométrie
Rechercher un angle usuel
Angle 30Unité Degrés
30° est un angle usuel du quadrant I ; son angle de référence est donc lui-même (30°). Les coordonnées exactes sont (√3/2, 1/2) ≈ (0.8660, 0.5000) : ce sont les mêmes rapports que dans le triangle 30-60-90 appris par cœur, représentés sur le cercle trigonométrique plutôt que dans un triangle rectangle.
🧭
Vérification d’un exercice
Un angle supérieur à 180°
Angle 210Unité Degrés
210° se trouve dans le quadrant III, à 30° au-delà de l’axe des x négatif. Son angle de référence est 30° (210° − 180°) ; les valeurs absolues de ses coordonnées sont donc celles de 30°, mais les deux signes sont inversés : (−√3/2, −1/2) ≈ (−0.8660, −0.5000), car le cosinus et le sinus sont tous deux négatifs dans le quadrant III.
∫
Préparation au calcul différentiel
Calcul en radians
Angle π/4 (0.7854)Unité Radians
π/4 radians équivaut à 45°, sur la diagonale entre les axes du quadrant I. Comme 45° est un angle remarquable du triangle 45-45-90, le cosinus et le sinus sont égaux : (√2/2, √2/2) ≈ (0.7071, 0.7071). Ici, tan θ = 1 puisque le sinus et le cosinus sont égaux.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
Le cercle trigonométrique relie toutes les notions angulaires de la trigonométrie : valeurs du sinus et du cosinus, angles de référence, signes selon le quadrant et mesure en radians. Plutôt que de mémoriser des dizaines de rapports de triangles, il permet de lire directement les coordonnées (cos θ, sin θ) de n’importe quel angle sur un cercle de rayon 1.
Fonctionnement du cercle trigonométrique
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Tracez un cercle de rayon 1 centré à l’origine du plan. À partir de l’axe des x positif, parcourez un angle θ dans le sens antihoraire. Le point où cette demi-droite — le côté terminal de l’angle — coupe le cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Comme le rayon vaut 1, l’abscisse de ce point est cos θ et son ordonnée est sin θ. Cela étend directement aux angles de toute amplitude, y compris ceux supérieurs à 90° et les angles négatifs, les définitions du sinus et du cosinus dans un triangle rectangle (côté opposé/hypoténuse, côté adjacent/hypoténuse), qui ne suffisent pas à elles seules dans ces cas.
La tangente est directement égale à sin θ / cos θ, soit la pente de la demi-droite du côté terminal. Le cercle trigonométrique ayant un rayon de 1, il n’est pas nécessaire de diviser par l’hypoténuse : les coordonnées sont les valeurs trigonométriques.
Angles de référence et règle ASTC
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Au lieu de mémoriser des valeurs exactes distinctes pour tous les angles du cercle, la trigonométrie utilise les angles de référence : chaque angle est ramené à un angle aigu (0°–90°) du quadrant I, et le signe dépend du quadrant de l’angle initial. Le moyen mnémotechnique anglais classique est All-Sine-Tangent-Cosine (« All Students Take Calculus ») : dans le quadrant I, les trois fonctions sont positives ; dans le II, seul le sinus est positif ; dans le III, seule la tangente est positive ; dans le IV, seul le cosinus est positif.
Ainsi, 210° (quadrant III) a le même angle de référence que 30°. Son cosinus et son sinus sont tous deux négatifs, car seule la tangente est positive dans le quadrant III : cos(210°) = −cos(30°) et sin(210°) = −sin(30°).
Les 16 angles usuels et leurs valeurs exactes
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Chaque multiple de 30° ou de 45° sur le cercle — 16 angles au total, y compris les quatre angles des axes 0°/90°/180°/270° — possède des valeurs symboliques exactes (cos, sin), dérivées de deux triangles rectangles remarquables : le triangle 30-60-90 (qui donne 1/2 et √3/2) et le triangle 45-45-90 (qui donne √2/2 pour les deux coordonnées). Les autres angles ne possèdent pas de forme symbolique simple et sont présentés sous forme d’approximations décimales. L’onglet Valeurs exactes distingue clairement ces cas au lieu d’afficher une fraction arrondie trompeuse.
Limites et points de vigilance
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La tangente n’est pas définie à 90° et 270° ni à aucun angle qui leur est coterminal, car le cosinus y vaut 0 et le calcul exigerait une division par zéro. Le calculateur affiche « non définie » plutôt qu’une erreur ou une décimale infinie. Les arrondis en virgule flottante peuvent aussi faire qu’une valeur en radians convertie depuis un angle exact en degrés (comme π/2) donne un cosinus extrêmement proche de zéro, mais non nul. La recherche de valeur exacte évite ce problème en comparant les valeurs symboliques réelles plutôt que le résultat brut en virgule flottante.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Que calcule exactement le calculateur du cercle trigonométrique ?+
Il prend n’importe quel angle, en degrés ou en radians, et renvoie le point (cos θ, sin θ) où son côté terminal coupe un cercle de rayon 1 centré à l’origine. Il fournit aussi tan θ, l’angle de référence et le quadrant ; pour les 16 angles usuels multiples de 30° ou 45°, il donne les coordonnées symboliques exactes plutôt qu’une simple décimale.
Qu’est-ce qu’un angle de référence, en termes simples ?+
C’est l’angle aigu (toujours compris entre 0° et 90°) entre le côté terminal de votre angle et la partie la plus proche de l’axe des x. Tout angle du cercle se ramène à un angle de référence du quadrant I, ce qui permet de trouver les valeurs trigonométriques exactes de n’importe quel angle à partir des quelques angles remarquables du premier quadrant.
Comment fonctionnent les signes selon le quadrant ?+
Quadrant I : cosinus, sinus et tangente sont positifs. Quadrant II : seul le sinus est positif. Quadrant III : seule la tangente est positive. Quadrant IV : seul le cosinus est positif. C’est la règle ASTC (« All Students Take Calculus »), qui explique pourquoi un même angle de référence peut donner quatre combinaisons de signes selon le quadrant de l’angle initial.
Quels angles ont des valeurs exactes, et pourquoi pas tous ?+
Les 16 angles multiples de 30° ou de 45° (0°, 30°, 45°, 60°, 90° et leurs symétriques sur le cercle) ont des valeurs symboliques exactes car elles proviennent des triangles remarquables 30-60-90 et 45-45-90. Les autres angles, comme 37° ou 100°, ne se réduisent pas à une fraction simple impliquant une racine carrée ; seule une approximation décimale est donc pertinente. Le calculateur affiche « Aucune forme exacte » au lieu d’une fraction arrondie trompeuse.
Ce calculateur prend-il en charge les radians et les degrés ?+
Oui. Utilisez le sélecteur d’unité à côté du champ d’angle pour passer des degrés aux radians. Chaque angle est converti et normalisé ; les saisies correspondant au même angle (comme 45° et π/4) produisent toujours les mêmes coordonnées, angles de référence et formes exactes.
Pourquoi tan θ est-elle parfois « non définie » ?+
La tangente vaut sin θ / cos θ, et le cosinus vaut exactement 0 à 90° et 270° ainsi qu’à leurs angles coterminaux, comme 450° ou −90°. Une division par zéro n’a pas de résultat défini. Le calculateur indique donc « non définie » pour ces angles exacts au lieu d’un nombre très grand ou d’apparence infinie.
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