Les six fonctions trigonométriques décrivent le lien entre un angle et les côtés d’un triangle rectangle ou, plus généralement, entre un angle et un point du cercle trigonométrique. Cette calculatrice fonctionne dans les deux sens : elle transforme un angle en valeurs des six fonctions et retrouve un angle à partir d’un rapport connu en utilisant les fonctions inverses.
Des triangles rectangles au cercle trigonométrique
La trigonométrie commence par SOH-CAH-TOA : le sinus est le côté opposé divisé par l’hypoténuse, le cosinus le côté adjacent divisé par l’hypoténuse et la tangente le côté opposé divisé par le côté adjacent. Cette définition ne s’applique qu’aux angles entre 0° et 90°, puisqu’un triangle rectangle ne peut pas avoir un angle de 180° ou de −45°. Le cercle trigonométrique étend les fonctions à tous les angles réels : le sinus est la coordonnée y, le cosinus la coordonnée x du point où le rayon correspondant à l’angle rencontre un cercle de rayon 1, et la tangente est leur rapport. C’est pourquoi le sinus et le cosinus restent toujours entre −1 et 1 — les coordonnées du cercle ne dépassent jamais ces limites —, tandis que la tangente peut prendre toute valeur réelle.
Pourquoi certaines fonctions ne sont-elles pas définies pour certains angles ?
La tangente, la sécante et la cotangente sont des rapports ; un rapport n’est pas défini lorsque son dénominateur est nul. La tangente (sin/cos) et la sécante (1/cos) ne sont donc pas définies lorsque le cosinus vaut zéro : à 90°, 270° et tous les angles qui suivent par pas de 180°. La cotangente (cos/sin) et la cosécante (1/sin) ne sont pas définies lorsque le sinus vaut zéro : à 0°, 180°, 360°, etc. Sur un graphique de tangente ou de sécante, ces angles correspondent aux asymptotes verticales : la fonction tend vers l’infini positif ou négatif lorsque l’angle s’approche du point où elle n’est pas définie, sans jamais y prendre de valeur.
Pourquoi les fonctions inverses ont un domaine limité
Le sinus et le cosinus ne produisant que des valeurs entre −1 et 1, leurs fonctions inverses (sin⁻¹ et cos⁻¹) n’acceptent que des entrées dans ce même intervalle : aucun angle n’a un sinus égal à 2, donc sin⁻¹(2) n’existe pas. L’arctangente n’a pas cette restriction, car la tangente peut prendre toute valeur réelle ; tan⁻¹ accepte donc n’importe quelle valeur. Il faut également tenir compte d’une subtilité : le sinus et le cosinus sont périodiques, de sorte qu’une infinité d’angles partagent la même valeur de sinus (30°, 150°, 390°, …). Les fonctions inverses n’en renvoient qu’un seul, appelé « valeur principale » : pour sin⁻¹, il est compris entre −90° et 90° ; pour cos⁻¹, entre 0° et 180° ; pour tan⁻¹, strictement entre −90° et 90°.
Degrés ou radians
Les degrés divisent le cercle en 360 parties égales, selon une convention héritée de l’astronomie babylonienne antique. Les radians mesurent un angle à partir de la longueur d’arc : un radian correspond à un arc de longueur égale au rayon, soit 2π radians pour un cercle complet. Les radians sont l’unité naturelle en calcul différentiel et en physique, car ils simplifient les dérivées et les séries du sinus et du cosinus. Les degrés restent l’unité courante en navigation, en construction et dans la plupart des exercices de géométrie. Cette calculatrice accepte et affiche les deux unités pour vous permettre d’utiliser celle de vos documents de référence.