La loi des cosinus permet de résoudre un triangle lorsque deux côtés et l’angle compris (SAS), ou les trois côtés (SSS), sont connus — deux cas où la loi des sinus ne peut pas être appliquée directement faute de paire angle-côté connue. Ce calculateur trouve le côté ou l’angle manquant, puis complète le triangle et son aire.

Fonctionnement du calculateur de la loi des cosinus

La loi des cosinus, c² = a² + b² − 2ab·cosC, relie les trois côtés d’un triangle au cosinus de l’angle opposé au côté c. En mode SAS, C est l’angle compris connu entre a et b ; la formule donne directement c. En mode SSS, les trois côtés sont connus et on réarrange la formule pour calculer l’angle : cosC = (a² + b² − c²) / (2ab).

Une fois une inconnue trouvée, le calculateur détermine les deux autres angles avec la loi des cosinus, et non celle des sinus. Par exemple, A = acos((b²+c²−a²)/(2bc)), puis B = 180° − A − C. Le cosinus inverse est univoque pour les angles de triangle entre 0° et 180°, ce qui évite le cas ambigu de la fonction sinus.

Entrées et leur signification

En mode SAS, C doit être l’angle compris directement entre a et b, et non l’angle opposé à l’un des côtés. Un angle opposé à un côté correspond au cas SSA, que la loi des cosinus ne résout pas directement ; il faut alors utiliser la loi des sinus, avec son risque d’ambiguïté.

En mode SSS, les côtés doivent respecter l’inégalité triangulaire : chaque paire doit avoir une somme supérieure au troisième côté (a+b>c, a+c>b, b+c>a). Sinon, aucun triangle ne peut avoir ces mesures et le calculateur le signale au lieu d’afficher un résultat sans signification.

Limites et cas particuliers

Le calculateur résout des triangles plans euclidiens à partir de valeurs exactes ; il ne modélise ni l’incertitude de mesure ni la géométrie sphérique utilisée en navigation et en astronomie. Si vous connaissez une paire angle-côté et une autre valeur (ASA, AAS ou SSA), utilisez plutôt la loi des sinus ; le cas SSA peut être ambigu.

Un triangle qui satisfait à peine l’inégalité SSS, ou dont l’angle SAS est proche de 0° ou de 180°, est valide mais presque dégénéré : il est très aplati et son aire est proche de zéro. Le calculateur le résout et signale le résultat afin que vous puissiez vérifier les entrées si cela est inattendu.