Les formules de l’angle double permettent de trouver sin(2θ), cos(2θ) et tan(2θ) à partir de sinθ, cosθ et tanθ — sans calculer 2θ ni chercher un nouvel angle dans une table trigonométrique. Elles sont souvent utilisées en calcul (pour simplifier des intégrales), en physique (dans les formules de portée des projectiles) et en géométrie lorsqu’un angle est doublé.
Origine des identités
Chaque identité de l’angle double est un cas particulier des formules d’addition des angles. En partant de sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB et en posant A = B = θ, on obtient sin(2θ) = 2 sinθ cosθ. La même substitution dans cos(A + B) = cosA cosB − sinA sinB donne cos(2θ) = cos²θ − sin²θ. Comme sin²θ + cos²θ = 1, cette expression du cosinus peut aussi s’écrire 2cos²θ − 1 ou 1 − 2sin²θ. Le calculateur présente les trois formes : choisissez celle qui correspond à la valeur connue.
À partir d’un angle ou de sin/cos
Utilisez l’onglet « À partir d’un angle » lorsque vous connaissez θ en degrés ou en radians. Choisissez « À partir de sin/cos » si le problème donne directement sinθ et cosθ — situation courante dans les exercices de vecteurs et de triangles où θ n’est pas indiqué sous forme numérique. Les deux onglets donnent les mêmes valeurs de sin(2θ), cos(2θ) et tan(2θ) pour un même angle. Le calculateur signale les paires sin/cos qui ne vérifient pas sin²θ + cos²θ = 1, car elles ne peuvent pas correspondre toutes deux à un angle réel.
Identités du demi-angle et cas où la tangente est indéfinie
L’onglet « Demi-angle » inverse la relation : à partir de θ, il renvoie sin(θ/2), cos(θ/2) et tan(θ/2). Attention aux résultats indéfinis : tanθ est indéfinie pour θ = 90° et 270° (lorsque cosθ = 0), et tan(2θ) l’est aussi pour θ = 45° et 135° (lorsque 1 − tan²θ = 0), car 2θ vaut alors exactement 90° ou 270°. Dans ces cas, le calculateur affiche « indéfini » plutôt qu’une erreur ou un symbole d’infini.