Calculez la longueur de l’arc et l’aire du secteur à partir du rayon et de l’angle au centre, ou déterminez le rayon ou l’angle.
Inputs
Choose what to solve for above — the input that becomes the unknown is hidden automatically.
Longueur de l’arc
—
Enter a radius and angle above to compute.
Longueur d’arc—
Aire du secteur—
Circonférence complète (2πr)—
Écart entre l’arc et la corde—
Arc X, sector area Y.
Sector diagram
Valeurs calculées
—
Enter the values above to compute.
Rayon—
Angle au centre—
Longueur d’arc—
Solve for radius or angle using the selector above.
Longueur de la corde
—
Enter the values above to compute.
Longueur de la corde—
Rayon utilisé—
Angle utilisé—
The straight-line distance between the arc's two endpoints.
4 min de lecture3 étapes6 termes3 exemples6 questionss = rθ
Un arc est une portion de la circonférence d’un cercle.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Saisissez le rayon et l’angle au centre
Saisissez le rayon du cercle et l’angle au centre qui délimite l’arc mesuré. Choisissez Degrés ou Radians dans le sélecteur près du champ d’angle ; le calculateur effectue la conversion automatiquement.
2
Consultez la longueur de l’arc et l’aire du secteur
L’onglet Arc et secteur s’actualise immédiatement : le résultat principal est la longueur de l’arc (s = rθ), et le détail indique l’aire du secteur (½r²θ) et la longueur de la corde. Passez à l’onglet Corde pour afficher la distance en ligne droite entre les extrémités de l’arc.
3
Ou calculez inversement le rayon ou l’angle
Si vous connaissez la longueur de l’arc et souhaitez calculer le rayon ou l’angle, utilisez le menu « Résoudre pour » en haut. Choisir « Rayon » remplace le champ du rayon par celui de la longueur d’arc ; choisir « Angle » fait de même pour l’angle. L’onglet Résoudre affiche ensuite la valeur recherchée.
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Référence
Formule et méthodologie
3 formules▸
Longueur de l’arc
s = rθ
La longueur d’arc s est égale au rayon r multiplié par l’angle au centre θ exprimé en radians. C’est la définition du radian : un radian est l’angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Si l’angle est en degrés, convertissez-le d’abord avec θ(rad) = θ(degrés) × π/180.
Aire du secteur
A = ½r²θ
Un secteur circulaire est la portion en forme de part de gâteau délimitée par deux rayons et un arc. Son aire est égale à la moitié du carré du rayon multipliée par l’angle au centre en radians : ½r²θ. Pour θ = 2π, on retrouve l’aire du cercle entier, πr².
Longueur de la corde
c = 2r·sin(θ/2)
La corde est le segment droit reliant les extrémités de l’arc, contrairement à l’arc lui-même. En partageant le triangle isocèle formé par les deux rayons et la corde en deux triangles rectangles, chaque demi-corde vaut r·sin(θ/2), donc la corde entière vaut le double.
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Glossaire
Termes clés expliqués
6 termes▸
Longueur de l’arcDistance le long de la partie courbe d’un cercle entre deux points, par opposition à la distance en ligne droite (la corde) entre ces mêmes points. Calcul : s = rθ, avec θ en radians.
SecteurPartie d’un cercle délimitée par deux rayons et l’arc compris entre eux. Son aire vaut ½r²θ.
Angle au centreAngle formé au centre du cercle par les deux rayons délimitant un secteur ou un arc. Il se mesure en degrés ou en radians ; le calculateur accepte et convertit les deux unités.
RadianUnité SI d’angle définie de sorte qu’un angle de 1 radian intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon. Un cercle entier mesure 2π radians (environ 6,283), soit 360° ; 1 radian ≈ 57,296°.
CordeSegment de droite reliant deux points d’un cercle. Contrairement à l’arc qui suit la courbe, la corde est le chemin le plus court entre ces points : c = 2r·sin(θ/2).
secteurs circulairesAutre nom du secteur : région comprise entre un arc et les deux rayons à ses extrémités, souvent représentée comme une part de gâteau ou de pizza.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Calcul direct
Rayon 5, angle au centre 60°
Rayon 5Angle au centre 60°
La conversion de 60° en radians donne θ = 60 × π/180 ≈ 1.0472 rad. Longueur de l’arc = 5 × 1.0472 ≈ 5.236 unités. Aire du secteur = ½ × 5² × 1.0472 ≈ 13.09 unités carrées. Longueur de la corde = 2 × 5 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 unités. La corde (5) est plus courte que l’arc (5.236), car la ligne droite est le chemin le plus court entre deux points.
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Calcul inverse du rayon
Arc de longueur 5.236, angle au centre 60° → rayon ?
Longueur de l’arc 5.236Angle au centre 60°
En réorganisant s = rθ, on obtient r = s / θ. Avec θ = 60° ≈ 1.0472 rad, le rayon = 5.236 / 1.0472 ≈ 5.000. C’est l’inverse exact du premier exemple, utile lorsque vous avez mesuré sur le terrain la longueur d’un arc (par exemple, une portion de route courbe) et son angle, mais cherchez le rayon de la courbe.
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Corde pour un angle plus large
Rayon 10, angle au centre 90°
Rayon 10Angle au centre 90°
À 90° (un quart de cercle), θ = π/2 ≈ 1.5708 rad. Longueur de l’arc = 10 × 1.5708 ≈ 15.71 unités. Longueur de la corde = 2 × 10 × sin(45°) ≈ 20 × 0.7071 ≈ 14.14 unités. L’écart entre l’arc et la corde est ici plus visible qu’à 60°. Plus l’angle augmente, plus la courbe s’éloigne de la corde ; pour un tour complet de 360°, la corde vaut 0 tandis que l’arc égale toute la circonférence.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
Un arc est une portion de la circonférence d’un cercle. À partir du rayon et de l’angle au centre qui le définissent, on peut calculer trois mesures liées : la longueur de l’arc, l’aire du secteur en forme de part de gâteau et la distance en ligne droite entre les extrémités de l’arc (la corde). Ce calculateur trouve ces trois valeurs et peut aussi déterminer le rayon ou l’angle si la longueur de l’arc est connue.
Fonctionnement du calculateur de longueur d’arc
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La relation fondamentale est s = rθ, où θ doit être exprimé en radians. C’est la définition même du radian : l’angle qui intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon. Si vous saisissez l’angle en degrés, le calculateur le convertit en radians (θ_rad = θ_degrés × π/180) avant d’appliquer les formules, puis le reconvertit pour l’affichage.
L’aire du secteur (½r²θ) et la longueur de la corde (2r·sin(θ/2)) sont calculées à partir du même rayon et du même angle ; les trois résultats se mettent donc à jour ensemble dès que vous modifiez une donnée. Pour trouver le rayon (r = s/θ) ou l’angle (θ = s/r), il suffit de réorganiser la formule s = rθ.
Paramètres et signification
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Le rayon est la distance du centre du cercle à son bord. Toute unité convient (pouces, mètres, miles), à condition de rester cohérent. L’angle au centre indique l’ouverture du secteur : en degrés, un cercle complet mesure 360° ; en radians, il mesure 2π ≈ 6,283. La longueur d’arc est la distance courbe le long du bord du cercle interceptée par cet angle.
Le sélecteur « Résoudre pour » détermine l’inconnue : laissez « Arc et secteur » pour calculer à partir du rayon et de l’angle, ou sélectionnez « Rayon » ou « Angle » pour effectuer le calcul inverse à partir d’une longueur d’arc connue.
Limites et cas particuliers
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Le rayon et l’angle doivent être positifs : un rayon ou un angle nul ou négatif ne définit pas un arc réel. Pour calculer l’angle à partir d’une longueur d’arc et d’un rayon connus, l’arc ne peut pas dépasser la circonférence du cercle (2πr), car un arc unique ne peut être plus long que le cercle entier. Le calculateur signale ce cas au lieu de renvoyer un angle supérieur à 360°.
Pour un cercle complet (θ = 2π radians = 360°), la formule de la corde reste valide mais devient triviale : les deux extrémités sont le même point, donc la corde mesure 0, tandis que l’arc égale toute la circonférence 2πr. Ce calculateur traite uniquement les cercles plans euclidiens, pas les arcs sur une sphère ou une autre surface courbe.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle formule ce calculateur utilise-t-il pour la longueur d’arc ?+
La longueur d’arc s = rθ, où r est le rayon et θ l’angle au centre en radians. Si vous saisissez des degrés, le calculateur les convertit d’abord en radians (θ_rad = θ_degrés × π/180), car la formule s’applique aux radians.
Quelle est la formule de l’aire d’un secteur ?+
Aire du secteur = ½r²θ, avec θ en radians. Pour θ = 2π (un cercle complet), on obtient ½r²(2π) = πr², soit la formule connue de l’aire du cercle.
Comment convertir des degrés en radians ?+
Multipliez la valeur en degrés par π/180 (environ 0.017453). Par exemple, 60° × π/180 ≈ 1.0472 radians. Le calculateur effectue cette conversion automatiquement ; choisissez simplement Degrés ou Radians près du champ d’angle.
Quelle est la formule de la corde et en quoi diffère-t-elle de la longueur d’arc ?+
Longueur de la corde = 2r·sin(θ/2). La corde est la distance en ligne droite entre les extrémités de l’arc, tandis que la longueur d’arc suit la courbe. La corde est toujours plus courte que l’arc (ou égale à celui-ci pour θ = 0), car la ligne droite est le chemin le plus court entre deux points.
Ce calculateur peut-il déterminer le rayon ou l’angle plutôt que l’arc ?+
Oui. Utilisez le menu « Résoudre pour » pour passer au calcul inverse : choisissez « Rayon » pour calculer r = s/θ à partir d’un arc et d’un angle connus, ou « Angle » pour calculer θ = s/r à partir d’un arc et d’un rayon connus.
Que se passe-t-il pour un cercle complet de 360° ?+
Pour θ = 2π radians (360°), la formule donne s = 2πr, la circonférence du cercle, et l’aire du secteur vaut A = πr². La corde vaut 0, car les deux extrémités de l’arc sont le même point après un tour complet.
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