La probabilité quantifie la chance qu’un événement se produise, sous la forme d’un nombre compris entre 0 (impossible) et 1 (certain). Que vous lanciez des pièces, inspectiez la production d’une usine ou planifiiez une partie de cartes, elle fournit un cadre rigoureux pour raisonner face à l’incertitude. Ce guide présente les principales formules, les situations où chaque mode est utile et la manière d’interpréter les résultats.
Probabilité de base et règle du complément
La forme la plus simple de probabilité est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total de cas équiprobables : P(A) = favorable / total. Elle s’applique lorsque tous les résultats sont aussi probables, par exemple obtenir un chiffre donné avec un dé équilibré, tirer une carte précise d’un jeu mélangé ou choisir une boule particulière dans un sac.
La règle du complément indique que P(A′) = 1 − P(A). S’il y a 30 % de chances de pluie, il y a 70 % de chances qu’il ne pleuve pas. Les cotes expriment la probabilité sous forme de rapport : cotes en faveur d’un événement = cas favorables : (total − cas favorables). Une probabilité de 1/6 correspond à des cotes de 1:5.
Loi binomiale : répétition d’essais indépendants
La loi binomiale modélise une expérience comportant n essais indépendants, chacun donnant un succès (probabilité p) ou un échec (probabilité 1−p). La probabilité d’obtenir exactement k succès est P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k). La formule comporte trois éléments : C(n,k) compte les façons d’obtenir k succès, p^k est la probabilité d’obtenir ces k succès, et (1−p)^(n−k) est la probabilité des autres échecs.
La probabilité cumulée P(X≤k) additionne toutes les probabilités de 0 à k. Elle est particulièrement utile en contrôle qualité (rejet si le nombre de défauts dépasse k) et pour les tests d’hypothèse (calcul d’une valeur p). L’espérance E(X) = n×p est le nombre moyen de succès que l’on observerait en répétant l’expérience de nombreuses fois.
Combinaisons et permutations : compter sans examiner chaque cas
Les combinaisons (nCr) comptent les façons de choisir k éléments parmi n lorsque l’ordre n’a pas d’importance. Les permutations (nPr) comptent les arrangements ordonnés. La différence essentielle : choisir 3 personnes parmi 10 pour former un comité correspond à une combinaison (C(10.3) = 120), tandis que classer 3 personnes parmi 10 finalistes en première, deuxième et troisième place correspond à une permutation (P(10.3) = 720). Pour les mêmes n et k, le nombre de permutations est toujours supérieur ou égal au nombre de combinaisons, car chaque combinaison peut être arrangée de k! façons.
Les deux formules utilisent des factorielles et leur précision en virgule flottante est limitée lorsque n > 170 (n! dépasse alors la plage numérique de JavaScript). Pour les valeurs supérieures, utilisez des logarithmes de factorielles ou une bibliothèque spécialisée dans les grands nombres.