La loi de Poisson répond à une question précise et très courante : si un événement survient à un taux moyen connu, quelle est la probabilité qu’il se produise un certain nombre de fois pendant le prochain intervalle ? C’est la méthode standard pour modéliser le volume d’appels, les erreurs d’un site, les arrivées de clients, les déclarations de sinistre et tout autre compte d’événements rares et indépendants. Cette calculatrice applique la formule exacte au lieu de s’appuyer sur une estimation intuitive.
Comment fonctionne la formule de Poisson
La fonction de masse de probabilité de Poisson, P(X=k) = lambda^k * e^-lambda / k!, ne comporte qu’un paramètre : lambda, le taux moyen. Tout le reste — la moyenne, la variance et la forme de la courbe — découle de cette seule valeur. Les faibles valeurs de lambda donnent une distribution fortement concentrée sur 0 et 1 événement ; lorsque lambda dépasse environ 10, la distribution devient progressivement plus symétrique et se rapproche d’une courbe en cloche normale. La calculatrice évalue exactement la formule avec des calculs en espace logarithmique ; elle reste donc précise même pour les grands k, lorsque le calcul direct de la factorielle dépasserait les limites numériques.
Exactement, au plus ou au moins
La plupart des questions réelles ne portent pas sur un compte exact. « Quelle est la probabilité d’avoir au plus 2 défauts ? » additionne toutes les probabilités de 0 à 2 ; « quelle est la probabilité d’au moins une panne ? » correspond à 1 moins la probabilité d’en avoir exactement 0. L’onglet Cumul présente côte à côte P(X=k), P(X<=k) et P(X>=k) pour plusieurs valeurs de k proches, afin que vous puissiez lire le résultat adapté à votre décision sans relancer le calcul pour chaque seuil.
Quand la loi de Poisson s’applique — et quand elle ne s’applique pas
La loi de Poisson suppose que les événements se produisent indépendamment, à un taux moyen constant, et que deux événements ne surviennent pas au même instant. Elle convient mal aux événements regroupés : une panne de courant provoquant dix alertes simultanées ne représente pas dix événements indépendants. Elle convient également mal si le taux varie pendant l’intervalle, par exemple lorsque le volume d’appels augmente pendant une promotion. Dans ces cas, le nombre observé sera plus dispersé que prévu par Poisson ; un autre modèle, comme la loi binomiale négative, est généralement plus adapté.