Les permutations et les combinaisons répondent à une question fondamentale en probabilités et en combinatoire : de combien de façons peut-on arranger ou sélectionner des éléments ? Tout dépend d’une seule question : l’ordre compte-t-il ? Maîtriser cette distinction permet de calculer des probabilités dans les jeux de cartes, la cryptographie, les statistiques et la conception de tournois.
Mots de passe et sécurité
Un mot de passe de 8 caractères choisi parmi 94 caractères ASCII imprimables, avec répétition autorisée, offre 94⁸ possibilités, soit environ 6.1 billions. Il s’agit d’une permutation avec remise : chacune des 8 positions peut indépendamment contenir n’importe lequel des 94 caractères. Sans répétition, le nombre devient P(94, 8) = 94 × 93 × 92 × … × 87, soit environ 5.5 billions — à peine moins, puisque 8 caractères représentent une faible part des 94 disponibles. Ajouter un seul caractère multiplie les possibilités par environ 94 ; c’est pourquoi un mot de passe de 12 caractères (94¹² ≈ 4.8 × 10²³) est beaucoup plus sûr qu’un mot de passe de 8 caractères, quel que soit le choix des caractères. Les experts recommandent donc de privilégier la longueur plutôt que la complexité : ajouter un caractère à un mot de passe de 10 caractères est plus efficace que de passer des minuscules aux caractères mixtes. La durée d’une attaque par force brute augmente de manière exponentielle avec la longueur ; à mille milliards d’essais par seconde, tester toutes les possibilités d’un mot de passe de 12 caractères prendrait des milliards d’années. Les calculs combinatoires rendent les phrases secrètes de 16 caractères ou plus pratiquement impossibles à casser avec toute amélioration matérielle prévisible.
Mains de poker
Un jeu standard contient 52 cartes et il existe C(52, 5) = 2,598,960 mains distinctes de cinq cartes. Une main est un ensemble de cartes, pas une séquence : l’ordre ne compte donc pas et l’on utilise des combinaisons. Parmi ces mains, seules 4 sont des quintes flush royales (de l’as au dix dans chacune des couleurs), soit une probabilité de 4/2,598,960 ≈ 1 sur 649,740. On compte 36 quintes flush au total, royales comprises, pour une probabilité d’environ 1 sur 72,193. Les fulls sont comptés ainsi : C(13.1) × C(4.3) × C(12.1) × C(4.2) = 3,744 mains, soit environ 1 sur 694. Reconnaître qu’une main de poker relève des combinaisons, et non des permutations, est essentiel pour calculer correctement ces probabilités. Les débutants comptent parfois à tort les ordres de distribution comme différents, ce qui multiplie le nombre de mains par les 120 ordres possibles de cinq cartes et fausse les probabilités. Les doubles paires exigent notamment d’éviter les doubles comptes : C(13.2) × C(4.2) × C(4.2) × C(44.1) = 123,552, et non simplement C(13.2)² × C(4.2)².
Tableaux de tournoi
Dans un tournoi à élimination directe de 64 équipes, il existe 2⁶³ ≈ 9.2 × 10¹⁸ issues possibles, soit environ 9.2 trillions au sens français. Chacun des 63 matchs a deux vainqueurs possibles, et l’issue de chaque match précis compte. Le calcul se présente comme un produit de choix binaires indépendants : 2 × 2 × … × 2 (63 fois) = 2⁶³. Cette taille astronomique explique pourquoi remplir un tableau sans erreur est presque impossible, même avec des connaissances expertes : avec une probabilité généreuse de 70 % de prédire chaque match correctement, la probabilité d’un tableau parfait est 0.7⁶³ ≈ 1 sur 10¹², soit environ une chance sur mille milliards. Warren Buffett a célèbrement promis un milliard de dollars pour un tableau parfait du tournoi NCAA lors de concours promotionnels de Berkshire Hathaway ; les chances combinatoires rendaient le prix pratiquement impossible à réclamer. Même si les connaissances du domaine diminuent le nombre de matchs vraiment incertains, la multiplication de ces incertitudes indépendantes sur 63 rencontres dépasse toute capacité de prédiction. Aucun tableau parfait n’a été soumis dans un concours vérifié à grande échelle, malgré des millions de participations chaque année.