La distribution hypergéométrique répond à une question à laquelle la loi binomiale ne répond pas : quelle est la probabilité d’obtenir un nombre donné de succès en tirant un échantillon d’une population finie, sans remettre les éléments? Les mains de cartes, les tirages de loterie et le contrôle qualité d’un lot terminé suivent tous ce modèle. Ce calculateur donne les probabilités exactes, « au plus » et « au moins », ainsi que la moyenne et l’écart type de la distribution : à partir de la population, du nombre de succès et de la taille de l’échantillon, vous obtenez directement une probabilité exploitable.
Fonctionnement de la formule hypergéométrique
La fonction de masse de probabilité hypergéométrique, P(X = k) = C(K,k)·C(N−K, n−k) / C(N,n), est un rapport de dénombrements de combinaisons plutôt qu’un produit de probabilités. Le numérateur compte toutes les façons de constituer un échantillon contenant exactement k succès : C(K,k) façons de choisir les succès inclus, multipliées par C(N−K, n−k) façons de compléter l’échantillon avec des éléments sans succès. Le dénominateur, C(N,n), est le nombre total d’échantillons de taille n, tous équiprobables, que l’on peut tirer de la population entière, quel que soit leur nombre de succès. Le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total donne la probabilité exacte — le même raisonnement combinatoire que pour les mains de poker ou de bridge.
Signification des paramètres
La taille de la population (N) est le nombre total d’éléments disponibles; il doit s’agir d’un entier et le calculateur accepte les valeurs jusqu’à 1,000 pour garantir la stabilité numérique. Le nombre de succès dans la population (K) indique combien de ces N éléments répondent au critère de « succès »; il doit être compris entre 0 et N. La taille de l’échantillon (n) est le nombre d’éléments tirés en une fois sans remise, également entre 0 et N. Les succès observés (k) correspondent au nombre recherché. Leur intervalle valide est plus étroit que 0 à n : k ne peut pas dépasser K, et ne peut pas être si faible qu’il faudrait tirer plus d’échecs qu’il n’en existe dans la population. Comme dans le calculateur binomial, le type de comparaison est « exactement », « au plus » ou « au moins », toujours dans cet intervalle autorisé par la population.
Distribution hypergéométrique ou binomiale : laquelle choisir?
Les deux distributions comptent les succès lors de tirages répétés, mais elles correspondent à des plans d’échantillonnage différents. La loi binomiale suppose un échantillonnage avec remise (ou dans une population effectivement infinie) : chaque tirage est indépendant et la probabilité de succès p reste constante. La loi hypergéométrique suppose un échantillonnage sans remise dans une population finie connue; chaque tirage modifie donc les chances du suivant — tirer un cœur d’un jeu rend légèrement moins probable le tirage du prochain cœur. À titre indicatif, lorsque la taille de l’échantillon n est faible par rapport à la population N (environ n/N inférieur à 5 %), les deux distributions donnent des résultats très proches et la formule binomiale, plus simple, sert souvent d’approximation. Lorsque N est petit ou que n représente une grande part de N — par exemple une main de poker de 5 cartes tirée d’un jeu de 52 cartes — la différence compte et la formule hypergéométrique est la bonne.