La moyenne harmonique est conçue pour les taux, rapports et vitesses, situations où la moyenne arithmétique peut donner une réponse erronée. Elle intervient lorsqu’une grandeur est exprimée « par unité » d’une autre, de la vitesse moyenne au score F1 utilisé pour évaluer les modèles d’apprentissage automatique.

Fonctionnement de la moyenne harmonique

La moyenne harmonique se calcule en prenant l’inverse de chaque valeur, en faisant la moyenne de ces inverses, puis en prenant l’inverse du résultat : HM = n / Σ(1/xᵢ). Une petite valeur peut fortement abaisser la moyenne. C’est le comportement recherché pour les taux : une portion lente d’un trajet ou une faible précision doit peser davantage que des valeurs rapides ou élevées ailleurs dans l’ensemble.

Vitesse moyenne : pourquoi la moyenne harmonique convient

Si vous roulez à 40 mph sur une portion puis à 60 mph sur une portion retour de même distance, votre vitesse moyenne est de 48 mph, et non la moyenne arithmétique de 50 mph. Vous passez plus de temps à la vitesse faible ; la vitesse moyenne est la distance totale divisée par le temps total, et non la moyenne des deux nombres. La moyenne harmonique donne exactement ce résultat lorsque toutes les portions couvrent la même distance. Si les distances diffèrent, il faut pondérer chaque vitesse selon la distance ou le temps parcouru.

Moyennes harmonique, arithmétique et géométrique

Ces trois « moyennes pythagoriciennes » répondent à des questions différentes. La moyenne arithmétique additionne les valeurs et divise par leur nombre : elle convient aux totaux. La moyenne géométrique multiplie les valeurs et prend la racine n-ième : elle convient aux taux de croissance et aux rapports composés. La moyenne harmonique additionne les inverses : elle convient aux taux et aux vitesses. Pour des nombres positifs non identiques, HM ≤ GM ≤ AM ; l’écart augmente avec la dispersion des valeurs.