La loi géométrique répond à la question « combien d’essais avant le premier succès ? ». Si l’on répète une expérience binaire, indépendante, dont la probabilité de succès reste identique à chaque fois, quelle est la probabilité que le premier succès survienne à un essai donné ? Ce calculateur détermine les probabilités exactes, « au plus » et « au moins », ainsi que la moyenne, la variance et l’écart-type de la loi. Il permet ainsi de passer d’une probabilité par essai à une estimation concrète du délai d’attente.

Comprendre la formule géométrique

La fonction de masse de la loi géométrique, P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p, combine deux événements qui doivent tous deux se produire. (1 − p)^(k − 1) est la probabilité que chacun des k − 1 premiers essais échoue : il s’agit d’une succession d’échecs indépendants, chacun de probabilité 1 − p. Puis p est la probabilité que le kᵉ essai réussisse. Le produit donne la probabilité de cette séquence précise : échec, échec, …, échec, succès. Comme la loi n’impose pas de nombre d’essais fixé à l’avance, contrairement au n de la loi binomiale, k peut en théorie être n’importe quel entier positif ; la probabilité diminue géométriquement à mesure que k augmente, d’où le nom de cette loi.

Les paramètres et leur signification

La probabilité de succès p s’exprime par un nombre décimal entre 0 et 1 : 20 % s’écrit 0.2, et non 20. Elle doit être identique à chaque essai et strictement supérieure à 0 ; si elle était nulle, le premier succès ne pourrait jamais se produire. Le numéro k est l’essai qui vous intéresse : il s’agit toujours d’un entier positif à partir de 1 (il n’existe pas d’essai 0). Le type de comparaison — exactement, au plus ou au moins — détermine si le calcul donne une probabilité précise ou une somme cumulée. Dans la pratique, « au plus k » est souvent la question la plus utile : quelle est la probabilité de conclure une vente au cours des trois premiers appels, par exemple ? Cette comparaison inclut tous les résultats jusqu’à une échéance donnée, plutôt qu’un seul essai précis.

La propriété sans mémoire et ses conditions d’application

La loi géométrique repose sur les conditions d’un processus de Bernoulli : les essais sont indépendants, chacun a exactement deux résultats possibles, et la probabilité de succès reste constante. À la différence d’un nombre fixe d’essais, le nombre de tentatives est illimité. Sa caractéristique la plus remarquable est la propriété sans mémoire : savoir que le premier succès n’a pas encore eu lieu à l’essai m n’indique pas combien d’essais supplémentaires seront nécessaires ; les probabilités repartent exactement comme au début. Cette loi convient donc pour modéliser l’attente d’un premier événement (première vente, premier défaut, premier désabonnement), à condition que chaque tentative soit réellement indépendante des précédentes. Elle se distingue de la loi binomiale, qui compte les succès sur un nombre fixe d’essais, et de la loi binomiale négative, qui généralise la loi géométrique au temps nécessaire pour obtenir le rᵉ succès plutôt que le premier.