Calculatrice du théorème central limite

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Étapes

Comment utiliser cette calculatrice

3 étapes

1

Saisissez la moyenne et l’écart-type de la population ainsi que la taille de l’échantillon

Dans la carte « Population et échantillon », saisissez la moyenne de la population (μ), son écart-type (σ) et la taille de l’échantillon (n). Ces trois valeurs alimentent les résultats ci-dessous : seule la moyenne et la dispersion de la population sont nécessaires, pas sa forme.

2

Consultez l’erreur standard

Le résultat principal est l’erreur standard de la moyenne (SE = σ/√n), soit l’écart typique entre une moyenne d’échantillon de taille n et la vraie moyenne de population dû au hasard de l’échantillonnage. Consultez les onglets « Distribution d’échantillonnage » ou « Erreur standard » pour le détail, ou comparez différentes tailles d’échantillon.

3

Calculez la probabilité d’un intervalle de moyennes d’échantillon

Dans l’onglet « Probabilité », choisissez P(x̄ > valeur), P(x̄ < valeur) ou P(a < x̄ < b), puis saisissez le seuil ou les bornes. La calculatrice convertit la valeur en score z avec l’erreur standard, puis détermine la probabilité selon la loi normale.

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Référence

Formule et méthodologie

3 formules

Erreur standard de la moyenne

SE = σ / √n

Écart-type de la distribution d’échantillonnage de x̄. σ est l’écart-type de la population et n la taille de l’échantillon. SE diminue lorsque n augmente, car la moyenne de davantage d’observations atténue la variabilité individuelle.

Distribution d’échantillonnage

x̄ ~ N(μ, σ/√n) for large n

Selon le théorème central limite, lorsque n devient grand (repère courant : n ≥ 30), la distribution des moyennes x̄ tend vers une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ/√n, quelle que soit la forme de la population initiale.

Probabilité d’un intervalle de moyennes d’échantillon

z = (x̄ − μ) / SE, then P from the standard normal CDF Φ(z)

Pour calculer la probabilité qu’une moyenne soit au-dessus, au-dessous ou entre certaines valeurs, convertissez-les en scores z avec l’erreur standard, puis lisez l’aire correspondante sous la courbe normale standard.

📖

Glossaire

Termes clés expliqués

7 termes

Théorème central limite (TCL) Théorème selon lequel la distribution des moyennes d’échantillons tirés de presque toute population tend vers une loi normale lorsque la taille des échantillons augmente, quelle que soit la forme de la population.

Distribution d’échantillonnage Loi de probabilité d’une statistique (ici la moyenne x̄), obtenue en tirant de façon répétée des échantillons aléatoires de taille fixe n dans une population.

Erreur standard (SE) Écart-type de la distribution d’échantillonnage d’une statistique. Pour la moyenne, SE = σ/√n, où σ est l’écart-type de la population et n la taille de l’échantillon.

Moyenne d’échantillon (x̄) Moyenne des valeurs d’un échantillon de taille n, utilisée pour estimer la moyenne inconnue μ de la population.

Population Ensemble complet des individus ou observations étudiés, ayant une moyenne réelle (souvent inconnue) μ et un écart-type σ, dans lequel les échantillons sont tirés.

Approximation normale Approximation de la distribution de x̄ par une loi normale grâce au TCL, afin d’utiliser les scores z même si la population n’est pas normale.

Repère n ≥ 30 Repère courant : la distribution de x̄ est assez proche d’une loi normale pour la plupart des populations lorsque n atteint environ 30. Un n inférieur peut convenir si la population est normale ; une population plus asymétrique peut exiger un échantillon plus grand.

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Situations types

Exemples concrets

3 exemples

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Calcul de l’erreur standard

Scores de QI, population μ = 100, σ = 15, échantillon n = 25

Moyenne de la population (μ) 100 Écart-type de la population (σ) 15 Taille de l’échantillon (n) 25

SE = 15 / √25 = 15 / 5 = 3. La moyenne d’un échantillon de 25 scores de QI s’écarte en général d’environ 3 points de la vraie moyenne de population, égale à 100, en raison du hasard de l’échantillonnage.

📦

Probabilité d’un intervalle de moyennes d’échantillon

Même population (μ = 100, σ = 15, n = 25) — probabilité que la moyenne dépasse 105

Seuil de moyenne d’échantillon (x̄) 105 Comparaison P(x̄ > value)

z = (105 − 100) / 3 ≈ 1.67 et P(x̄ > 105) ≈ 4.8 %. Il est assez rare — environ une chance sur 20 — qu’un échantillon de 25 ait une moyenne supérieure à 105 lorsque la vraie moyenne est 100.

📉

Un n plus grand resserre la distribution d’échantillonnage

Même population (μ = 100, σ = 15) — comparaison de n = 25 et n = 100

Taille de l’échantillon (n) — premier calcul 25 Taille de l’échantillon (n) — deuxième calcul 100

Pour n = 25, SE = 15/√25 = 3. Porter l’échantillon à n = 100 ne divise SE que par deux, soit 15/√100 = 1.5, car SE diminue selon √n. Les grands échantillons resserrent la distribution autour de la vraie moyenne de population.

🔗

Référence

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APA et MLA

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Analyse approfondie

Comprendre la calculatrice du théorème central limite

3 chapitres · 4 min de lecture

Le théorème central limite (TCL) est un résultat essentiel en statistique : quelle que soit la répartition des valeurs d’une population, les moyennes d’échantillons aléatoires répétés tendent vers une distribution prévisible et approximativement normale. Cette calculatrice donne la moyenne et la dispersion de cette distribution, ainsi que la probabilité qu’une moyenne se trouve dans l’intervalle choisi.

Fonctionnement de la calculatrice du théorème central limite

À partir de la moyenne de la population (μ), de son écart-type (σ) et de la taille de l’échantillon (n), la calculatrice calcule l’erreur standard SE = σ/√n, soit l’écart-type de la distribution d’échantillonnage de x̄. Selon le TCL, cette distribution est centrée sur μ et tend vers une loi normale lorsque n augmente. La loi normale standard permet alors de calculer des probabilités concernant x̄.

Pour les vues de probabilité, un seuil de moyenne (ou une paire de bornes) est converti en score z par z = (x̄ − μ)/SE ; l’aire correspondante sous la courbe normale standard donne la probabilité.

Entrées et leur signification

Moyenne de la population (μ) : moyenne réelle de l’ensemble, souvent inconnue en pratique mais supposée connue ici pour illustrer le théorème. Écart-type de la population (σ) : dispersion des valeurs individuelles ; un σ supérieur élargit aussi la distribution d’échantillonnage. Taille de l’échantillon (n) : nombre d’observations utilisées pour chaque moyenne. Elle influe fortement sur la précision, car SE diminue selon √n : quadrupler la taille divise l’erreur standard par deux.

Limites et cas particuliers

L’approximation normale est plus fiable lorsque n atteint environ 30 ou lorsque la population est déjà à peu près normale, auquel cas de petits échantillons peuvent convenir. Pour une population très asymétrique et un petit n, la distribution peut s’écarter de la normale ; les probabilités sont alors approximatives. La calculatrice suppose que σ est connu. Si σ doit être estimé à partir d’un échantillon, une méthode fondée sur la loi t convient mieux aux petits échantillons.

❓

Questions

Questions fréquentes

6 questions

Quelle est la formule de l’erreur standard ?+

SE = σ/√n, où σ est l’écart-type de la population et n la taille de l’échantillon. Elle mesure l’écart typique entre la moyenne de l’échantillon et la vraie moyenne dû au hasard de l’échantillonnage.

Que dit le théorème central limite ?+

Si l’on tire à répétition des échantillons aléatoires de taille n dans presque toute population et que l’on calcule leur moyenne, la distribution de ces moyennes tend vers une loi normale lorsque n augmente, même si la population initiale n’est pas normale.

Pourquoi utilise-t-on n ≥ 30 comme repère ?+

C’est un repère courant : à partir d’environ 30 observations, la distribution d’échantillonnage de la moyenne est généralement assez proche d’une loi normale pour la plupart des populations. Une population normale permet un n inférieur ; une forte asymétrie peut exiger un échantillon plus grand.

Comment la calculatrice calcule-t-elle la probabilité d’un intervalle de moyennes ?+

Elle convertit le seuil ou les bornes en scores z avec l’erreur standard, z = (x̄ − μ)/SE, puis lit la probabilité sur la loi normale standard. Elle utilise SE plutôt que l’écart-type brut de la population.

Pourquoi une taille d’échantillon plus grande réduit-elle l’erreur standard ?+

Parce que SE = σ/√n dépend de √n et non de n : la moyenne de davantage d’observations indépendantes atténue leur variabilité, avec un rendement décroissant. Quadrupler la taille ne réduit l’erreur standard que de moitié.

La forme de la population initiale a-t-elle une importance ?+

Pour la distribution d’échantillonnage de la moyenne, la forme s’efface lorsque l’échantillon grandit : c’est le principe du théorème central limite. La distribution des moyennes tend vers la normale que la population soit asymétrique, uniforme ou d’une autre forme.

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Population & Sample

Sampling Distribution of x̄

Standard Error of the Mean

Probability of a Sample Mean Range

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