La loi binomiale répond à une question très courante et bien précise : si l’on répète un nombre fixe de fois une expérience indépendante à deux issues, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre donné de succès ? Ce calculateur détermine les probabilités exactes, « au plus » et « au moins », ainsi que la moyenne et l’écart type de la distribution : il transforme directement le nombre d’essais et la probabilité en une valeur exploitable.
Fonctionnement de la formule binomiale
La fonction de masse de probabilité binomiale, P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), comporte trois éléments. C(n,k), lu « k parmi n », compte le nombre d’ordres possibles pour obtenir k succès parmi n essais. Sans ce facteur, on ne calculerait que la probabilité d’un ordre précis, et non de toutes les configurations aussi probables qui donnent k succès. p^k est la probabilité que k essais déterminés réussissent, et (1−p)^(n−k) celle que les autres échouent. Le produit des trois termes, puis, pour les questions cumulées, la somme sur toutes les valeurs de k concernées, donne le tableau complet des probabilités.
Signification des paramètres
Le nombre d’essais (n) est le nombre fixe de répétitions indépendantes. Il doit être entier ; pour des raisons de stabilité numérique, ce calculateur accepte jusqu’à 1,000 essais. La probabilité de succès (p) est saisie sous forme décimale entre 0 et 1 (50 % correspond à 0.5, et non à 50) ; elle reste identique pour chaque essai. Le nombre de succès (k) est celui visé par la question et doit toujours être compris entre 0 et n. Le type de comparaison — exactement, au plus ou au moins — détermine si le résultat porte sur une probabilité exacte ou sur une somme cumulée. « Au moins k » est souvent plus utile dans la pratique (par exemple « au moins 8 tirs francs sur 10 »), car cette question englobe tous les résultats qui atteignent le seuil, et pas un seul nombre précis.
Conditions d’application et approximation normale
Le modèle binomial repose sur quatre conditions : un nombre fixe d’essais, exactement deux issues par essai, une probabilité de succès constante et l’indépendance des essais (le résultat de l’un ne doit pas modifier les chances des autres). Un échantillonnage sans remise dans une petite population viole l’indépendance et relève plutôt de la loi hypergéométrique. Lorsque n est élevé et que p n’est pas trop proche de 0 ni de 1 (règle pratique courante : np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5), la loi binomiale est bien approchée par une loi normale ayant la même moyenne et le même écart type. Cette approximation est utile pour faire des estimations de tête, mais ce calculateur calcule toujours la probabilité binomiale exacte.