Le théorème de Bayes est la règle mathématique qui permet de réviser une croyance à la lumière de nouvelles preuves. Il intervient dans les tests médicaux, les filtres antipourriel, le raisonnement juridique et les décisions quotidiennes. Il est aussi à l’origine d’une erreur fréquente : accorder trop de poids à une preuve sans tenir compte de la rareté de ce que l’on cherche.
Fonctionnement de la calculatrice
L’onglet Théorème de Bayes applique directement P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B) à la probabilité a priori, à la vraisemblance et à l’probabilité marginale que vous saisissez. L’onglet Test médical applique la même formule avec des termes spécialisés : la sensibilité est P(B|A), la prévalence est P(A), et l’probabilité marginale P(B), probabilité d’un résultat positif, est calculée à partir de la sensibilité, de la spécificité et de la prévalence.
Pourquoi le taux de base compte davantage qu’on ne le croit
La sensibilité et la spécificité indiquent la capacité du test à détecter les vrais cas et les vrais non-cas. Mais la probabilité a posteriori — ce que signifie un résultat positif — dépend aussi de la prévalence, ou taux de base. Quand une condition est rare, les personnes saines sont beaucoup plus nombreuses que les personnes malades ; même un faible taux de faux positifs peut donc produire plus de fausses alertes que de détections réelles. Ignorer cette réalité est l’erreur du taux de base. Les médecins, prévisionnistes et analystes doivent d’abord se demander à quelle fréquence l’événement survient avant de se fier à un signal positif.
Mode direct et mode médical : une même formule
Les modes Théorème de Bayes et Test médical réalisent le même calcul, avec des termes différents selon le contexte. En faisant correspondre probabilité a priori et prévalence, vraisemblance et sensibilité, puis probabilité marginale et taux total de résultats positifs, vous obtenez la même probabilité a posteriori dans les deux modes. C’est un moyen de vérifier la formule et de comprendre pourquoi les réglages par défaut racontent la même histoire de maladie rare.