La projection vectorielle décompose un vecteur a en deux parties par rapport à un vecteur b : la composante de a dirigée selon b (la projection) et la partie restante, perpendiculaire à b (le rejet). Cette décomposition intervient souvent en physique, en infographie et en statistique, dès qu’une grandeur doit être séparée selon une direction choisie et sa direction orthogonale.
Fonctionnement de la calculatrice
La calculatrice utilise le produit scalaire a·b et le carré de la norme de b, |b|². Leur quotient donne un facteur d’échelle ; en multipliant b par ce facteur, on obtient proj_b(a), un vecteur situé sur la même droite que b (dans le même sens si a·b est positif, dans le sens opposé s’il est négatif, et nul si a et b sont perpendiculaires).
La projection scalaire a·b / |b| correspond à ce facteur multiplié par |b| ; c’est aussi la longueur signée de proj_b(a). Le rejet est ce qui reste après soustraction de la projection à a. Par construction, il est toujours perpendiculaire à b : projection et rejet sont les deux composantes orthogonales qui reconstituent le vecteur initial a.
Entrées et signification
Saisissez les composantes x, y (et z en mode 3D) des vecteurs a et b. Le vecteur b définit la direction de projection ; inverser a et b change le résultat, car la projection n’est pas symétrique. Le choix 2D ou 3D détermine l’affichage de la composante z ; en 2D, z vaut 0 pour les deux vecteurs.
Limites et cas particuliers
La projection n’est pas définie si b est le vecteur nul, car aucune direction de projection n’existe. La calculatrice le signale explicitement au lieu de diviser par zéro. Si a et b sont perpendiculaires, la projection est le vecteur nul et le rejet est égal à a, puisque aucune partie de a ne suit b. Les composantes des deux vecteurs peuvent utiliser n’importe quelle unité cohérente, à condition d’utiliser la même pour les deux.