Calculateur de transposée de matrice | Calculateur gratuit

📋

Étapes

Comment utiliser cette calculatrice

3 étapes

1

Définir les dimensions de la matrice

Choisissez le nombre de lignes et de colonnes de la matrice A dans les listes déroulantes Lignes et Colonnes. Toutes les formes de 1×1 à 5×5 sont prises en charge, y compris les matrices rectangulaires et les vecteurs à une seule ligne ou colonne.

2

Saisir les éléments de la matrice

Saisissez un nombre dans chaque cellule de la matrice A. La transposée Aᵀ est recalculée instantanément dans le panneau de résultats pendant la saisie : aucun bouton de calcul n’est nécessaire.

3

Lire la transposée et vérifier la symétrie

La carte de résultat affiche Aᵀ, dont les lignes et les colonnes sont inversées par rapport à A. Consultez l’onglet Vérification de la symétrie pour savoir si A est égale à sa propre transposée (possible uniquement pour les matrices carrées), ou l’onglet Dimensions pour confirmer le changement de forme.

⚡

Référence

Formule et méthodologie

2 formules

Transposée

Aᵀ[j][i] = A[i][j]

La transposée Aᵀ s’obtient en échangeant les lignes et les colonnes : l’élément situé à la ligne i et à la colonne j de A devient l’élément situé à la ligne j et à la colonne i de Aᵀ. Une matrice m×n (m lignes, n colonnes) devient une matrice n×m après transposition.

Test de symétrie d’une matrice

A = Aᵀ

Une matrice carrée A est symétrique lorsque chaque élément est le reflet d’un autre par rapport à la diagonale principale, c’est-à-dire lorsque A[i][j] = A[j][i] pour tous i et j. La symétrie n’est définie que pour les matrices carrées : une matrice rectangulaire ne peut pas être égale à sa transposée, car leurs dimensions diffèrent.

📖

Glossaire

Termes clés expliqués

6 termes

Transposée (Aᵀ) Matrice obtenue en réfléchissant A par rapport à sa diagonale principale, de sorte que ses lignes deviennent des colonnes et ses colonnes des lignes. Elle se note Aᵀ ou A′. La transposée d’une matrice m×n est une matrice n×m.

Matrice symétrique Matrice carrée égale à sa propre transposée (A = Aᵀ). Chaque élément hors diagonale possède une valeur miroir de l’autre côté de la diagonale principale, par exemple A[1][2] = A[2][1].

Lignes Lignes horizontales d’éléments d’une matrice, lues de gauche à droite. Une matrice de m lignes comporte m groupes horizontaux d’éléments; le nombre de lignes devient le nombre de colonnes de la transposée.

Colonnes Lignes verticales d’éléments d’une matrice, lues de haut en bas. Une matrice de n colonnes comporte n groupes verticaux d’éléments; le nombre de colonnes devient le nombre de lignes de la transposée.

Dimensions d’une matrice Taille d’une matrice exprimée en lignes × colonnes (m×n). La transposition échange les deux nombres : une matrice 2×3 devient une matrice 3×2, sans changer le nombre total d’éléments (6).

Vecteur ligne/colonne Matrice qui ne comporte qu’une ligne (1×n, vecteur ligne) ou qu’une colonne (m×1, vecteur colonne). La transposée d’un vecteur ligne est un vecteur colonne contenant les mêmes éléments, et inversement.

👥

Situations types

Exemples concrets

3 exemples

🧮

Matrice rectangulaire

Matrice 2×3

Matrice A [[1.2,3],[4.5,6]] Dimensions 2 lignes × 3 colonnes

A est une matrice 2×3; Aᵀ devient donc une matrice 3×2 : [[1.4],[2.5],[3.6]]. La ligne 1 de A (1, 2, 3) devient la colonne 1 de Aᵀ. Le nombre d’éléments reste identique (6), seule la forme change. Comme le nombre de lignes diffère du nombre de colonnes, il n’est pas possible de vérifier la symétrie de cette matrice.

🔁

Matrice symétrique

Exemple de matrice symétrique 3×3

Matrice A [[2,-1.0],[-1.3,4],[0.4,5]] Dimensions 3 lignes × 3 colonnes

Chaque paire d’éléments hors diagonale est symétrique : A[1][2]=-1 correspond à A[2][1]=-1, et A[2][3]=4 correspond à A[3][2]=4. Comme A est égale à sa propre transposée, l’onglet Vérification de la symétrie affiche A = Aᵀ. Cette forme est courante dans les matrices de covariance et les matrices d’adjacence de graphes non orientés.

↕️

Transposée d’un vecteur

Vecteur ligne 1×3

Matrice A [[7.8,9]] Dimensions 1 ligne × 3 colonnes

Un vecteur ligne [7, 8, 9] se transpose en un vecteur colonne 3×1, avec les mêmes éléments empilés verticalement. Ce passage d’une ligne à une colonne correspond exactement à la conversion d’une donnée en vecteur colonne, forme requise par de nombreuses formules d’algèbre linéaire.

🔗

Référence

Citer cette calculatrice

APA et MLA

Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.

APA

MLA

📄

Analyse approfondie

Comprendre le calculateur de transposée de matrice

3 chapitres · 5 min de lecture

La transposée d’une matrice la réfléchit par rapport à sa diagonale principale : les lignes deviennent des colonnes et les colonnes deviennent des lignes. C’est l’une des opérations les plus fréquentes en algèbre linéaire. Ce calculateur détermine Aᵀ pour toute matrice jusqu’à 5×5, vérifie si une matrice carrée est symétrique et montre précisément comment ses dimensions changent.

Fonctionnement du calculateur de transposée de matrice

La transposition d’une matrice suit une seule règle : Aᵀ[j][i] = A[i][j]. Chaque élément de la ligne i et de la colonne j de la matrice A d’origine passe à la ligne j et à la colonne i du résultat. En pratique, les éléments de chaque colonne de A forment une ligne de Aᵀ. Le calculateur applique cet échange à chaque cellule saisie et actualise le résultat à mesure que vous tapez. Il prend en charge toutes les formes rectangulaires de 1×1 à 5×5.

Données à saisir et leur signification

Commencez par choisir les valeurs des listes déroulantes Lignes et Colonnes : elles définissent la forme de la matrice A, d’une seule cellule (1×1) à une grille complète de 5×5. Le nombre de lignes peut différer du nombre de colonnes; les formes rectangulaires telles que 2×3 ou 4×1 sont prises en charge au même titre que les matrices carrées. Lorsque la grille apparaît, saisissez un nombre réel (positif, négatif ou décimal) dans chaque cellule. La rangée de préréglages propose un exemple rectangulaire, un exemple de matrice symétrique 3×3 et un vecteur ligne pour explorer l’outil sans tout saisir manuellement.

Limites et cas particuliers

L’onglet Vérification de la symétrie ne s’applique qu’aux matrices carrées (nombre de lignes = nombre de colonnes). Pour une matrice rectangulaire, A et Aᵀ ont des dimensions différentes et ne peuvent donc pas être égales; le calculateur indique alors que la symétrie ne s’applique pas, plutôt que de la déclarer fausse. Transposer une matrice deux fois redonne toujours la matrice d’origine, (Aᵀ)ᵀ = A, ce qui constitue un moyen utile de vérifier vos valeurs. Pour préserver la lisibilité, l’outil est limité aux matrices 5×5; les matrices plus grandes se traitent généralement avec un logiciel spécialisé en algèbre linéaire plutôt qu’avec une grille manuelle.

❓

Questions

Questions fréquentes

6 questions

Quelle est la formule de la transposée d’une matrice ?+

La transposée échange les lignes et les colonnes selon la règle Aᵀ[j][i] = A[i][j] : l’élément situé à la ligne i et à la colonne j de la matrice d’origine passe à la ligne j et à la colonne i du résultat. Concrètement, la première ligne de A devient la première colonne de Aᵀ, la deuxième ligne devient la deuxième colonne, et ainsi de suite. Une matrice m×n (m lignes, n colonnes) devient toujours une matrice n×m après transposition.

Qu’est-ce qui rend une matrice symétrique ?+

Une matrice est symétrique lorsqu’elle est égale à sa propre transposée, A = Aᵀ. Elle doit donc être carrée (avec le même nombre de lignes et de colonnes), et chaque élément doit être le reflet d’un autre par rapport à la diagonale principale. Par exemple, l’élément de la ligne 1 et de la colonne 2 doit être égal à celui de la ligne 2 et de la colonne 1. Les matrices symétriques sont fréquentes dans les matrices de covariance, les matrices de distance et les matrices d’adjacence de graphes non orientés.

Comment les dimensions changent-elles lorsqu’on transpose une matrice ?+

La transposition échange le nombre de lignes et le nombre de colonnes : une matrice m×n devient une matrice n×m. Par exemple, une matrice 2×4 (2 lignes, 4 colonnes) devient une matrice 4×2 (4 lignes, 2 colonnes). Le nombre total d’éléments ne change jamais; seule leur disposition en lignes et en colonnes change. Une matrice carrée, dont le nombre de lignes égale le nombre de colonnes, conserve les mêmes dimensions après transposition, même si ses éléments changent de place.

Que signifie (Aᵀ)ᵀ, la transposée d’une transposée ?+

Transposer une matrice deux fois redonne toujours la matrice d’origine : (Aᵀ)ᵀ = A. La première transposition échange les lignes et les colonnes; la seconde les remet à leur place d’origine. Cette propriété permet de vérifier rapidement une transposition faite à la main : si la transposée de votre résultat ne redonne pas la matrice d’origine, un élément a probablement été mal placé.

Comment transposer un vecteur ligne ou colonne ?+

Un vecteur ligne (matrice d’une seule ligne, de forme 1×n) devient un vecteur colonne (de forme n×1) contenant les mêmes éléments empilés verticalement plutôt qu’horizontalement. L’inverse est également vrai pour un vecteur colonne. Ce passage d’une ligne à une colonne est fréquent lorsqu’une formule impose une orientation précise des vecteurs, par exemple pour calculer un produit scalaire ou mettre en place un système d’équations linéaires.

À quoi sert la transposée d’une matrice ?+

La transposée intervient dans de nombreux domaines de l’algèbre linéaire : elle sert à calculer le produit scalaire de deux vecteurs écrits sous forme matricielle, à vérifier si une matrice est symétrique ou orthogonale, à établir les équations normales d’une régression par moindres carrés et à passer de la convention du vecteur ligne à celle du vecteur colonne lors de la combinaison de formules provenant de sources différentes. C’est l’une des opérations matricielles les plus courantes, avec l’addition, la multiplication et l’inversion.

Téléchargez instantanément un PDF d’une page contenant vos résultats. Indiquez votre adresse e-mail pour recevoir également, de temps à autre, des conseils sur nos calculatrices — sans spam et avec désinscription possible à tout moment. Confidentialité.

Transposée (Aᵀ)