La trace est l’un des nombres les plus simples à calculer à partir d’une matrice carrée, et pourtant elle révèle une structure étonnamment riche : elle sert aussi bien à vérifier rapidement un calcul fait à la main qu’à obtenir directement la somme des valeurs propres d’une matrice. Ce guide explique comment la calculer, ce qu’elle représente et où elle intervient en algèbre linéaire.

Calcul de la trace

La trace d’une matrice A de taille n×n, notée tr(A), est définie comme la somme des éléments de sa diagonale principale : tr(A) = A₁₁ + A₂₂ + ... + Aₙₙ. Tous les autres éléments de la matrice, c’est-à-dire ceux qui ne sont pas sur la diagonale, sont entièrement ignorés. La trace est donc l’une des grandeurs matricielles les plus rapides à calculer : aucune multiplication ni récurrence, seulement l’addition de n nombres.

Comme la trace ne s’applique qu’aux matrices carrées, une matrice non carrée (par exemple, une matrice 3×4) n’a tout simplement pas de trace définie. C’est précisément pour cette raison que ce calculateur crée toujours une grille carrée n×n.

Pourquoi la trace égale la somme des valeurs propres

L’une des propriétés les plus utiles de la trace est que tr(A) égale toujours la somme des valeurs propres de A, comptées avec leur multiplicité algébrique — même si elles sont irrationnelles, complexes ou répétées. Cette propriété découle du polynôme caractéristique de A : le coefficient du terme de degré immédiatement inférieur au terme de plus haut degré est, au signe près, égal à la trace. D’après les formules de Viète, ce coefficient est également égal à la somme des racines du polynôme, qui sont précisément les valeurs propres.

Cette propriété offre une vérification rapide et partielle d’un calcul de valeurs propres : si les valeurs propres calculées à la main ou par un logiciel ne totalisent pas la trace obtenue directement à partir de la diagonale, une erreur s’est produite.

Propriétés utiles et cas particuliers

La trace est additive : tr(A + B) = tr(A) + tr(B) pour deux matrices carrées de même taille. Elle est également cyclique pour la multiplication : tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB), même si la multiplication matricielle n’est pas commutative (en général, AB ≠ BA). Cette propriété cyclique explique pourquoi la trace intervient si souvent en physique et en statistique : elle permet de réorganiser une suite de produits matriciels sans en modifier le résultat.

Un cas particulier à retenir : la trace de toute matrice identité n×n vaut simplement n, puisque chaque élément diagonal vaut 1. Et comme la trace ignore tous les éléments hors diagonale, deux matrices d’apparence très différente peuvent avoir exactement la même trace : c’est un invariant, pas une empreinte unique.