Calculateur de rang de matrice | Calculateur gratuit

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Étapes

Comment utiliser cette calculatrice

4 étapes

1

Choisir les dimensions de la matrice

Choisissez le nombre de lignes et de colonnes (jusqu’à 5 × 5 chacune, indépendamment) à l’aide des deux sélecteurs. La grille de saisie s’adapte et un exemple résolu de rang maximal se charge automatiquement pour illustrer immédiatement la méthode.

2

Saisir les valeurs de la matrice

Cliquez dans une cellule et saisissez un nombre, positif, négatif ou décimal. Le rang, la forme échelonnée et toutes les étapes d’élimination se mettent à jour instantanément pendant la saisie, sans bouton de calcul.

3

Lire le rang

La carte de résultat affiche le rang dès que la matrice est saisie, ainsi que le rang maximal possible pour cette forme (le plus petit nombre entre les lignes et les colonnes). L’onglet Rang présente les dimensions, le rang, le rang maximal et un état indiquant si le rang est maximal ou déficient.

4

Examiner la forme échelonnée et les étapes

Passez à l’onglet Forme échelonnée pour voir la matrice après élimination de Gauss, ou à l’onglet Étapes pour suivre chaque échange de lignes et chaque étape d’élimination, la ligne modifiée étant mise en évidence.

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Référence

Formule et méthodologie

2 formules

Rang par réduction échelonnée

rank(A) = number of non-zero rows in REF(A)

L’élimination de Gauss avec pivot partiel réduit une matrice à une forme échelonnée (REF) : à chaque étape, la ligne ayant la plus grande valeur absolue dans la colonne pivot courante est placée en haut, puis on lui soustrait un multiple de cette ligne à chacune des lignes situées en dessous afin d’annuler cette colonne. La répétition de l’opération dans chaque colonne forme un escalier de pivots. Le rang correspond au nombre de lignes qui ne sont pas entièrement nulles à la fin du processus.

Bornes du rang

0 ≤ rank(A) ≤ min(rows, columns)

Le rang d’une matrice ne peut jamais dépasser le plus petit de son nombre de lignes et de colonnes : c’est le « rang maximal possible » affiché avec le résultat. Si rank(A) atteint ce maximum, la matrice est de rang maximal. S’il est inférieur, au moins une ligne est une combinaison linéaire des autres et la réduction la transforme en ligne entièrement nulle.

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Glossaire

Termes clés expliqués

7 termes

Rang Nombre de lignes linéairement indépendantes d’une matrice, égal au nombre de lignes non nulles après sa réduction sous forme échelonnée. Il mesure la quantité d’information indépendante réellement contenue dans la matrice.

Forme échelonnée par lignes (REF) Matrice en forme d’escalier obtenue par élimination de Gauss : le premier élément non nul de chaque ligne se trouve strictement à droite de celui de la ligne précédente, et tous les éléments situés sous un pivot sont nuls.

Élimination de Gauss Méthode systématique de réduction d’une matrice sous forme échelonnée à l’aide de trois opérations : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire et ajouter à une ligne un multiple d’une autre. Ce calculateur utilise le pivot partiel (sélection de la plus grande valeur disponible dans chaque colonne) pour améliorer la stabilité numérique.

Linéairement indépendantes Des lignes sont linéairement indépendantes lorsqu’aucune ne peut s’écrire comme une combinaison (somme de multiples) des autres. Une matrice dont toutes les lignes sont indépendantes est de rang maximal.

Pivot Premier élément non nul utilisé pour éliminer les éléments situés en dessous dans la même colonne lors de l’élimination de Gauss. Le nombre de pivots trouvés est égal au rang.

Ligne non nulle Ligne de la forme échelonnée qui contient au moins un élément non nul. Leur nombre, après suppression du bruit d’arrondi proche de zéro, donne le rang.

Rang maximal Une matrice est de rang maximal lorsque son rang vaut min(lignes, colonnes), le maximum possible pour sa forme. Une matrice carrée de rang maximal est toujours inversible ; une matrice de rang déficient ne l’est pas.

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Situations types

Exemples concrets

3 exemples

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Matrice de rang maximal

A = [[2, 1, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 0]] (3×3)

Matrix A [[2, 1, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 0]]

L’élimination de Gauss donne une forme échelonnée comportant trois lignes non nulles, donc rank(A) = 3, le maximum possible pour une matrice 3 × 3. Les trois lignes sont linéairement indépendantes et la matrice est de rang maximal (donc inversible).

⚠️

Matrice de rang déficient

A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]] (3×3)

Matrix A [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]]

La ligne 2 est exactement le double de la ligne 1 ; son élimination produit donc une ligne entièrement nulle. Il ne reste que deux lignes non nulles dans la forme échelonnée, soit rank(A) = 2, une unité de moins que le maximum de 3. Le calculateur signale le rang déficient et indique la ligne dépendante.

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Matrice rectangulaire

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] (2×3)

Matrix A [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]

Pour une matrice 2 × 3, le rang maximal possible est min(2, 3) = 2. La réduction laisse deux lignes non nulles : rank(A) = 2, soit le rang maximal pour cette forme, même si la matrice n’est pas carrée.

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Référence

Citer cette calculatrice

APA et MLA

Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.

APA

MLA

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Analyse approfondie

Comprendre le calculateur de rang de matrice

3 chapitres · 4 min de lecture

Le rang d’une matrice indique la quantité d’information indépendante qu’elle contient. Cette notion permet notamment de déterminer si un système d’équations linéaires possède une solution unique, une infinité de solutions ou aucune. Ce calculateur détermine le rang de toute matrice jusqu’à 5 × 5, carrée ou rectangulaire, en la réduisant sous forme échelonnée par élimination de Gauss, comme dans un cours d’introduction à l’algèbre linéaire.

Comment la forme échelonnée révèle le rang

L’élimination de Gauss procède colonne par colonne. Pour chaque colonne, le calculateur choisit la ligne ayant la plus grande valeur absolue (pivot partiel, qui stabilise les calculs) et la place au sommet des lignes restantes si nécessaire. Il soustrait ensuite un multiple de cette ligne pivot à chacune des lignes situées en dessous, ce qui annule les éléments sous le pivot. La répétition de cette opération dans chaque colonne produit une forme échelonnée en escalier.

Une fois la matrice sous forme échelonnée, son rang correspond au nombre de lignes qui ne sont pas entièrement nulles. Toute ligne devenue nulle pendant l’élimination était une combinaison linéaire des autres lignes de la matrice initiale : elle n’apportait aucune information nouvelle.

Les entrées et leur signification

Choisissez indépendamment le nombre de lignes et de colonnes (de 1 à 5 chacune), puis remplissez la grille avec des nombres réels. La matrice n’a pas besoin d’être carrée : les matrices rectangulaires sont prises en charge et le calculateur limite automatiquement le rang maximal à min(lignes, colonnes). Utilisez les boutons prédéfinis pour charger un exemple de rang maximal, un exemple de rang déficient avec des lignes dépendantes, un exemple rectangulaire ou la matrice identité.

Limites et cas particuliers

Le rang est toujours un entier compris entre 0 (uniquement pour la matrice nulle) et min(lignes, colonnes). Les calculs en virgule flottante peuvent laisser de minuscules résidus non nuls (comme 1e-15) à la place d’un zéro exact. Le calculateur considère comme nulles les valeurs inférieures à une petite tolérance, afin que ces artefacts numériques n’augmentent pas le rang. Les matrices sont limitées à 5 × 5 ; pour inverser une matrice, utilisez le calculateur d’inversion de matrice, et pour résoudre directement un système linéaire, le calculateur de systèmes d’équations.

❓

Questions

Questions fréquentes

6 questions

Quelle est la formule du rang d’une matrice ?+

Réduisez la matrice sous forme échelonnée par élimination de Gauss, puis comptez les lignes non nulles : ce nombre est le rang. Il n’existe pas de formule algébrique fermée ; le rang est défini par cette réduction, ou de manière équivalente par le plus grand nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes.

Que signifie avoir un rang maximal ?+

Une matrice a un rang maximal lorsque rank(A) vaut min(lignes, colonnes), le maximum possible pour sa forme. Une matrice carrée de rang maximal est toujours inversible. Une matrice ayant moins de lignes que de colonnes a un rang ligne maximal lorsque son rang est égal au nombre de lignes.

Que signifie que des lignes sont linéairement dépendantes ?+

Cela signifie que le rang de la matrice est inférieur à min(lignes, colonnes) : au moins une ligne peut s’écrire comme une combinaison des autres (par exemple, comme un multiple exact d’une autre). L’élimination de Gauss le révèle en transformant la ligne dépendante en ligne nulle.

À quoi sert le rang d’une matrice ?+

Le rang permet de déterminer si un système d’équations linéaires Ax = b possède une solution unique, une infinité de solutions ou aucune ; il est essentiel à l’étude de la solvabilité. Il sert aussi à vérifier si une matrice est inversible, à mesurer la dimension de l’espace vectoriel engendré par des vecteurs et à repérer les variables redondantes en science des données.

Qu’est-ce que l’élimination de Gauss ?+

L’élimination de Gauss est une méthode par étapes qui utilise trois opérations sur les lignes — échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire et soustraire à une ligne un multiple d’une autre — pour réduire une matrice sous forme échelonnée. Ce calculateur utilise le pivot partiel, en choisissant toujours la plus grande valeur disponible de chaque colonne, afin d’améliorer la stabilité numérique.

Ce calculateur peut-il déterminer le rang d’une matrice rectangulaire ?+

Oui. Le nombre de lignes et de colonnes se règle indépendamment (de 1 à 5), les matrices rectangulaires sont donc prises en charge. Pour une matrice non carrée, le rang maximal possible est min(lignes, colonnes) ; le calculateur l’affiche à côté du rang obtenu.

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