La multiplication matricielle combine deux matrices en une nouvelle matrice au moyen de produits scalaires ligne-colonne, et non en multipliant simplement les éléments correspondants. Ce calculateur effectue A×B pour des matrices allant jusqu’à 4×4, détaille le calcul de chaque cellule du résultat et vérifie la règle des dimensions qui détermine si la multiplication est possible.
Fonctionnement de la multiplication ligne par colonne
La multiplication matricielle ne consiste pas à multiplier les éléments correspondants, comme pour l’addition. Chaque élément du produit C est plutôt obtenu par un produit scalaire : pour calculer C[i][j], le calculateur parcourt simultanément la ligne i de A et la colonne j de B, multiplie les nombres correspondants et additionne les résultats. Pour une matrice A de dimension 2×3 et une matrice B de dimension 3×2, chaque élément de C est la somme de trois produits, un pour chaque indice commun.
L’onglet Étapes détaille le calcul de chaque cellule : C[1][1] = A[1][1]·B[1][1] + A[1][2]·B[2][1] + A[1][3]·B[3][1], avec le total cumulé indiqué en fin de ligne. Le nombre de termes de chaque produit scalaire correspond toujours à la dimension intérieure commune — les colonnes de A, qui doivent correspondre aux lignes de B. Les grandes matrices ajoutent donc des termes par cellule sans modifier la méthode. Refaire à la main une ligne en parallèle avec l’onglet Étapes est un bon moyen de comprendre la formule.
Comprendre la règle des dimensions
Deux matrices ne peuvent être multipliées que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Si A est de dimension m×n et B de dimension n×p, alors A×B existe et le résultat est toujours de dimension m×p. Les sélecteurs de taille de A et de B sont indépendants afin de vous permettre d’explorer cette règle : choisissez des dimensions compatibles pour afficher le produit, ou des dimensions incompatibles pour voir dans l’onglet Vérification des dimensions pourquoi l’opération échoue.
On retient parfois à tort que « les matrices doivent avoir la même taille ». Cela n’est vrai que dans certains cas de matrices carrées de même dimension. En général, A×B et B×A peuvent avoir des formes différentes, ou l’un des produits peut exister sans que l’autre soit défini. L’indicateur ✓/✗ qui évolue lorsque vous modifiez les lignes ou colonnes de l’une ou l’autre matrice aide à comprendre quelles dimensions sont compatibles.
Limites et cas particuliers
Ce calculateur prend en charge des matrices allant jusqu’à 4×4 de chaque côté, ce qui couvre la plupart des exercices et problèmes de devoirs tout en gardant chaque étape lisible. La multiplication n’est pas commutative : inverser l’ordre pour calculer B×A peut produire une matrice entièrement différente, voire rendre le produit impossible si les dimensions ne correspondent plus. Le calculateur effectue donc toujours A×B dans l’ordre de saisie.
Multiplier une matrice par une matrice identité compatible ne la modifie pas (A×I = A) ; le jeu de valeurs prédéfini permet de vérifier cette propriété. Pour d’autres opérations — addition, soustraction, multiplication par un scalaire, transposition, déterminant, inverse ou résolution de systèmes — utilisez le calculateur général de matrices. Les calculateurs de déterminant et d’inverse de matrice donnent des explications détaillées pour ces opérations particulières.