Calculatrice de décomposition LU

Determinant and the L times U reconstruction check
Check	Result
det(A) = product of U diagonal	—
L × U reconstructs A	—

📋

Étapes

Comment utiliser cette calculatrice

5 étapes

1

Choisissez la taille de la matrice

Choisissez 2×2, 3×3 ou 4×4 dans le sélecteur de taille de l’onglet Matrices L et U. La grille de saisie se reconstruit immédiatement et conserve les valeurs qui tiennent encore dans la nouvelle dimension.

2

Saisissez les éléments de la matrice A

Saisissez un nombre dans chaque cellule, ligne par ligne. Les nombres négatifs et décimaux sont acceptés : la décomposition est recalculée à chaque frappe, sans bouton Calculer.

3

Lisez les matrices L et U

La carte de résultat affiche le facteur triangulaire inférieur L et le facteur triangulaire supérieur U dès que toutes les cellules sont remplies. Si un échange de lignes a été nécessaire, la matrice de permutation P apparaît également.

4

Ouvrez l’onglet Étapes

Passez à l’onglet Étapes pour suivre toute l’élimination de Gauss : chaque recherche de pivot, chaque échange de lignes et chaque élimination qui annule un élément sous le pivot, avec l’état de la matrice à chaque étape.

5

Vérifiez le déterminant et le résultat

Ouvrez l’onglet Déterminant et vérification pour voir det(A), calculé comme le produit des éléments diagonaux de U corrigé du signe, ainsi qu’une comparaison côte à côte montrant que L × U reconstitue la matrice d’origine, éventuellement réordonnée. Les exemples prédéfinis présentent immédiatement un cas sans pivot, un cas avec pivot et un cas singulier.

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Référence

Formule et méthodologie

3 formules

Factorisation LU de Doolittle

A = L · U (or, with pivoting, P · A = L · U)

La méthode de Doolittle factorise une matrice carrée A en une matrice triangulaire inférieure L dont la diagonale ne contient que des 1, et une matrice triangulaire supérieure U. Elle applique l’élimination de Gauss classique et enregistre dans L les multiplicateurs qui seraient autrement écartés. Lorsqu’un pivot (l’élément diagonal utilisé pour éliminer les éléments situés en dessous) est trop petit ou nul, la calculatrice échange la ligne avec celle qui contient le plus grand élément disponible parmi les lignes suivantes. Une matrice de permutation P garde alors trace de la position de chaque ligne d’origine ; l’identité exacte devient donc P · A = L · U.

Multiplicateur d’élimination (éléments de L)

L[i][j] = A[i][j] ⁄ A[j][j] (évalué au moment où la colonne j est éliminée)

Chaque élément sous la diagonale de L est le multiplicateur utilisé pour annuler A[i][j] pendant l’élimination : il indique quelle quantité de la ligne de pivot j est soustraite de la ligne i. U est simplement la matrice qui subsiste après chaque étape d’élimination : ses éléments diagonaux et supérieurs sont ceux qui restent une fois éliminées toutes les colonnes situées à leur gauche.

Déterminant obtenu à partir de U

det(A) = (−1)^(nombre d’échanges de lignes) · U₁₁ · U₂₂ · ⋯ · Uₙₙ

Comme L est triangulaire inférieure unitaire (det(L) = 1) et que la matrice de permutation P issue du pivot partiel a pour déterminant (−1) élevé au nombre d’échanges de lignes, det(A) est le produit des éléments diagonaux de U, avec un changement de signe pour chaque échange. Sans pivotement, le signe reste simplement +1.

📖

Glossaire

Termes clés expliqués

7 termes

Décomposition LU Factorisation d’une matrice carrée A en une matrice triangulaire inférieure L et une matrice triangulaire supérieure U, telles que A = LU (ou P·A = LU lorsque des échanges de lignes ont été nécessaires). Elle regroupe les opérations de l’élimination de Gauss afin de pouvoir les réutiliser efficacement.

Triangulaire inférieure Se dit d’une matrice dont tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls. Avec la méthode de Doolittle, L est en outre triangulaire inférieure unitaire : tous ses éléments diagonaux valent 1.

Triangulaire supérieure Se dit d’une matrice dont tous les éléments situés sous la diagonale principale sont nuls. U est la matrice qui reste après que l’élimination de Gauss a annulé tous les éléments sous chaque pivot.

Méthode de Doolittle Convention de factorisation LU utilisée ici : la diagonale de L est fixée à 1, ce qui attribue sans ambiguïté chaque multiplicateur d’élimination à L et laisse dans U le facteur d’échelle restant. La méthode de Crout, elle, fixe plutôt la diagonale de U à 1.

Élimination de Gauss Procédé de réduction par lignes qui consiste à utiliser une ligne (la ligne de pivot) pour annuler les éléments situés en dessous d’elle dans la même colonne, puis à répéter l’opération colonne par colonne jusqu’à obtenir une matrice triangulaire supérieure. La décomposition LU conserve les multiplicateurs de cette élimination au lieu de les écarter.

Pivot partiel Avant d’éliminer une colonne, on échange la ligne courante avec celle des lignes restantes dont l’élément dans cette colonne a la plus grande valeur absolue ; cet élément devient le pivot. Cela évite de diviser par zéro ou par un pivot inutilement petit et améliore la stabilité numérique des calculs.

Factorisation de matrices Réécriture d’une matrice comme produit de deux matrices plus simples ou davantage. La décomposition LU est l’une des factorisations les plus utilisées, car la résolution de systèmes triangulaires comme ceux définis par L et U est bien moins coûteuse que celle d’un système matriciel général.

👥

Situations types

Exemples concrets

3 exemples

🔢

Matrice 3×3 sans pivot

A = [[4, 1, 1], [2, 5, 1], [1, 1, 3]]

Taille 3×3 Matrice [4, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 3]

Le plus grand élément de la première colonne se trouve déjà sur la diagonale (4 est supérieur à 2 et à 1), aucun échange n’est donc nécessaire. L’élimination donne L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[0.25,0.1667,1]] et U = [[4,1,1],[0,4.5,0.5],[0,0,2.6667]]. det(A) = 4 × 4.5 × 2.6667 = 48, comme le confirme un développement direct.

🔁

Matrice nécessitant un pivot partiel

A = [[0, 1, 1], [2, 1, 1], [1, 2, 3]]

Taille 3×3 Matrice [0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 3]

L’élément en position (1,1) est nul : la première colonne échange donc immédiatement sa première ligne avec la deuxième, qui contient 2. Après l’élimination, un second échange est nécessaire dans la deuxième colonne. Deux échanges annulent leur effet sur le signe : det(A) = +(2 × 1.5 × −0.6667) = −2, résultat confirmé par le développement direct de la matrice A d’origine.

🧮

Déterminant lu sur la diagonale de U

A = [[2, 1, 0, 3], [0, 3, 4, 1], [0, 0, 1, 2], [0, 0, 0, 5]]

Taille 4×4 Matrice [2, 1, 0, 3, 0, 3, 4, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 5]

A est déjà triangulaire supérieure : U = A et L est la matrice identité. Il n’y a donc ni élimination ni pivot à effectuer. det(A) est simplement le produit des éléments diagonaux : 2 × 3 × 1 × 5 = 30.

🔗

Référence

Citer cette calculatrice

APA et MLA

Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.

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MLA

📄

Analyse approfondie

Comprendre la calculatrice de décomposition LU

3 chapitres · 4 min de lecture

La décomposition LU réécrit une matrice carrée A comme le produit d’une matrice triangulaire inférieure L et d’une matrice triangulaire supérieure U, de sorte que A = LU. Les calculs sont ceux de l’élimination de Gauss classique, mais organisés pour que le travail effectué puisse être réutilisé. C’est pourquoi cette méthode est celle qu’emploient par défaut la plupart des bibliothèques numériques pour résoudre des systèmes linéaires, inverser des matrices et calculer des déterminants.

Pourquoi factoriser la matrice A ?

Si vous devez résoudre Ax = b une seule fois, l’élimination de Gauss classique sur la matrice augmentée convient très bien. La décomposition LU devient avantageuse lorsque vous devez résoudre Ax = b avec la même matrice A et plusieurs vecteurs b différents, ce qui arrive souvent en simulation, en analyse de circuits et dans les méthodes itératives. Une fois A = LU calculée, chaque nouveau vecteur b ne demande qu’une substitution avant peu coûteuse (résoudre Ly = b), puis une substitution arrière peu coûteuse (résoudre Ux = y), au lieu de reprendre à zéro toute l’élimination en O(n³).

Comment le pivot partiel garantit la validité des calculs

L’élimination de Gauss échoue dès qu’un pivot (l’élément diagonal par lequel on s’apprête à diviser) est nul : une division par zéro est impossible, tandis qu’une division par un nombre très petit amplifie les erreurs d’arrondi. Le pivot partiel évite ce problème en examinant les lignes restantes de la colonne courante et en échangeant la ligne avec celle qui contient la plus grande valeur absolue avant de poursuivre l’élimination. Chaque échange est enregistré dans une matrice de permutation P ; l’identité obtenue est donc P·A = L·U, et non A = L·U. L’onglet Étapes de cette calculatrice montre précisément quand et pourquoi chaque échange intervient.

Le déterminant est obtenu gratuitement

La matrice L est triangulaire et sa diagonale ne contient que des 1 ; son déterminant vaut donc toujours 1. Comme U est triangulaire, son déterminant est le produit de ses éléments diagonaux. Enfin, chaque échange de lignes change le signe du déterminant : det(A) = (−1)^(nombre d’échanges) × (produit des éléments diagonaux de U). Il n’est pas nécessaire de développer séparément par cofacteurs. C’est aussi pourquoi la présence d’un zéro sur la diagonale de U indique une matrice singulière : le produit est nul et det(A) = 0, quels que soient les échanges effectués.

❓

Questions

Questions fréquentes

6 questions

Quelle est la formule de la décomposition LU ?+

A = LU s’obtient en appliquant l’élimination de Gauss et en enregistrant dans L chaque multiplicateur d’élimination au lieu de l’écarter ; U contient les éléments restants après élimination. Lorsqu’un pivot partiel est nécessaire, la relation exacte est P·A = LU, où P indique les éventuels échanges de lignes.

Que signifie « Doolittle » ?+

La méthode de Doolittle est la convention LU utilisée par cette calculatrice : tous les éléments diagonaux de L sont fixés à 1, ce qui donne une place unique à chaque multiplicateur d’élimination. La méthode de Crout adopte la convention inverse et fixe plutôt les éléments diagonaux de U à 1.

Dans quels cas la décomposition LU échoue-t-elle ?+

Elle échoue uniquement lorsqu’une colonne ne contient aucun pivot utilisable — tous les éléments depuis la ligne courante jusqu’en bas sont nuls — et qu’aucun échange de lignes ne peut résoudre le problème. Le pivot partiel (qui place le plus grand élément disponible sur le pivot et donne P·A = LU) permet de traiter la plupart des cas où l’élément diagonal initial est nul.

Comment calculer le déterminant à partir d’une décomposition LU ?+

Multipliez les éléments diagonaux de U, puis changez le signe une fois pour chaque échange de lignes effectué lors du pivot partiel. En l’absence d’échange, det(A) est simplement le produit des éléments diagonaux de U.

À quoi sert concrètement la décomposition LU ?+

Elle sert principalement à résoudre Ax = b efficacement, surtout lorsque la même matrice A doit être utilisée avec plusieurs vecteurs b différents : chaque nouvelle résolution ne nécessite alors qu’une substitution avant et une substitution arrière, au lieu d’une élimination complète. Les bibliothèques numériques s’en servent aussi couramment pour calculer des déterminants et des inverses de matrices.

Comment vérifier que mes matrices L et U sont correctes ?+

Multipliez L par U et comparez le résultat à la matrice d’origine A (ou à P·A si des échanges de lignes ont eu lieu) : les deux doivent être égaux. Cette calculatrice effectue automatiquement cette vérification dans l’onglet Déterminant et vérification.

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Matrix A

A = L × U

Gaussian elimination steps

Étapes d’élimination

det(A) and verification

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Matrice 3×3 sans pivot

Matrice nécessitant un pivot partiel

Déterminant lu sur la diagonale de U

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Comprendre la calculatrice de décomposition LU

Pourquoi factoriser la matrice A ?

Comment le pivot partiel garantit la validité des calculs

Le déterminant est obtenu gratuitement

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A = L × U

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