Le produit scalaire est une opération très utile en algèbre vectorielle : il transforme deux vecteurs en un nombre qui indique dans quelle mesure ils pointent dans la même direction. Ce calculateur détermine a · b pour des vecteurs 2D ou 3D, en déduit l’angle entre eux et signale leur orthogonalité.

Fonctionnement du calculateur de produit scalaire

Pour deux vecteurs a et b de même dimension, le calculateur additionne les produits de leurs composantes correspondantes : a · b = axbx + ayby (2D) ou axbx + ayby + azbz (3D). Il calcule ensuite la norme de chaque vecteur (|a| et |b|), puis utilise l’identité a · b = |a||b|cos θ pour déterminer l’angle θ = arccos((a · b) / (|a||b|)). Enfin, il vérifie si a · b est nul, à une tolérance numérique près, afin de déterminer si les vecteurs sont orthogonaux.

Signification des valeurs saisies

Choisissez 2D ou 3D dans le sélecteur de dimension, puis saisissez les composantes x, y (et z en 3D) des vecteurs a et b. Les composantes peuvent être positives, négatives, nulles ou décimales. Aucune conversion d’unités n’est effectuée : le résultat est exprimé dans les unités des valeurs saisies (par exemple, si les composantes sont en mètres, le produit scalaire et les normes sont exprimés à partir du mètre, tandis que l’angle est toujours en degrés). Le signe du produit scalaire est déjà instructif : positif, il indique que les vecteurs pointent généralement dans la même direction (angle inférieur à 90°) ; négatif, dans des directions opposées (angle supérieur à 90°) ; nul, ils sont perpendiculaires.

Limites et cas particuliers

L’angle entre deux vecteurs n’est pas défini si l’un d’eux a une norme nulle : un vecteur nul n’a pas de direction. Dans ce cas, les onglets Angle entre les vecteurs et Vérification de l’orthogonalité affichent un message au lieu d’un nombre. Ce calculateur traite les vecteurs 2D et 3D. Pour des produits scalaires en dimension supérieure (nD), la même formule Σaᵢbᵢ s’étend avec davantage de termes ; vous pouvez effectuer le calcul à la main ou avec un outil mathématique généraliste. En raison des arrondis en virgule flottante, le test d’orthogonalité utilise une petite tolérance numérique au lieu d’exiger un produit scalaire exactement nul.