Le développement par cofacteurs (ou développement de Laplace) est une méthode générale de calcul manuel du déterminant d’une matrice : choisissez une ligne ou une colonne, multipliez chaque élément par le déterminant signé de son mineur, puis additionnez les résultats. Pour une matrice 3×3 ou 4×4, ce calculateur vous laisse choisir cette ligne ou cette colonne, puis affiche chaque mineur, chaque cofacteur et l’équation avec toutes les valeurs substituées — comme dans une résolution détaillée de cours d’algèbre linéaire.
Fonctionnement du développement par cofacteurs
Choisissez une ligne (ou une colonne) pour effectuer le développement. Pour chaque élément de cette ligne, supprimez sa ligne et sa colonne de la matrice afin d’obtenir une matrice « mineure » plus petite, puis calculez le déterminant de ce mineur. Multipliez l’élément par le déterminant de son mineur et par le signe alterné (+, −, +, − selon un damier déterminé par sa position), puis additionnez tous ces produits signés. Vous obtenez le déterminant de la matrice entière, identique quelle que soit la ligne ou la colonne choisie.
Pour une matrice 4×4, chaque mineur est lui-même une matrice 3×3 ; le calculateur détermine directement son déterminant avant de l’ajouter à la somme principale. L’onglet « Étapes du développement » affiche la formule, les valeurs substituées et les sommes intermédiaires qui aboutissent au résultat final.
Saisie et signification des valeurs
Choisissez la taille de la matrice (3×3 ou 4×4), remplissez la grille avec des nombres réels, puis sélectionnez une ligne ou une colonne dans le sélecteur « Développer selon ». Aucune conversion d’unité n’est nécessaire : le calculateur utilise exactement les nombres saisis. Les boutons prédéfinis permettent de charger la matrice identité, un exemple résolu ou une grille vide.
Pourquoi le choix de la ligne ou de la colonne compte (et ne compte pas)
Sur le plan mathématique, chaque ligne et chaque colonne donne exactement le même déterminant : c’est une propriété fondamentale du développement par cofacteurs. En pratique, certains choix accélèrent considérablement le calcul manuel : une ligne ou une colonne comportant davantage de zéros annule automatiquement davantage de termes, puisqu’un produit par zéro ne contribue pas à la somme. Essayez de passer d’une ligne riche en zéros à une ligne composée de nombres non nuls dans le sélecteur « Développer selon » pour voir le nombre de calculs diminuer.
Limites et cas particuliers
Ce calculateur prend uniquement en charge les matrices 3×3 et 4×4. Pour calculer un déterminant selon une méthode fixe et vérifier si la matrice est singulière ou inversible, consultez le calculateur de déterminant de matrice ; pour calculer l’inverse par la méthode de l’adjointe (matrice des cofacteurs), consultez le calculateur d’inverse de matrice ; pour les matrices plus grandes ou la réduction de Gauss-Jordan, utilisez le calculateur matriciel général.