Calculez le volume et l’aire de surface d’un tore à partir de ses rayons majeur et mineur, ou déterminez un rayon à partir d’un volume ou d’une aire de surface cible.
Radii
The major radius (R) is the distance from the center of the torus to the center of the tube; the minor radius (r) is the radius of the tube itself. For a normal (non-self-intersecting) donut, r should be smaller than R.
Try:
Volume
—
Enter the major and minor radii above to see the volume.
—
Aire de surface
Enter the major and minor radii above to see the torus volume.
Worked steps
Aire de surface
—
Enter the major and minor radii above to see the surface area.
—
Volume
Enter the major and minor radii above to see the torus surface area.
Worked steps
Solve for the missing radius
Enter a target volume or surface area plus whichever radius you already know, and the calculator solves for the other radius.
Rayon manquant
—
Enter a target measure and known radius above.
Worked steps
4 min de lecture3 étapes6 termes3 exemples6 questionsV = 2π² · R · r²
Un tore est défini par deux paramètres — le rayon majeur R et le rayon mineur r — qui déterminent son volume et son aire de surface selon le théorème du centroïde de Pappus.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Saisissez les rayons majeur et mineur
Saisissez le rayon majeur (R) — la distance entre le centre du tore et le centre du tube — puis le rayon mineur (r), c’est-à-dire le rayon du tube lui-même. Choisissez une unité ; elle sert uniquement d’étiquette d’affichage, car les formules fonctionnent quelle que soit l’unité.
2
Consultez le volume et l’aire de la surface
L’onglet Volume affiche en premier V = 2π²Rr² et indique l’aire de la surface comme mesure complémentaire. L’onglet Aire de la surface fait l’inverse et met d’abord en avant SA = 4π²Rr. Les deux résultats se mettent à jour dès que vous modifiez R ou r.
3
Calculez un rayon à partir des autres mesures
Ouvrez l’onglet Rayons pour effectuer le calcul inverse : saisissez un volume ou une aire de surface cible ainsi que le rayon que vous connaissez déjà. La calculatrice détermine le rayon manquant et détaille les étapes.
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Référence
Formule et méthodologie
4 formules▸
Volume d’un tore
V = 2π² · R · r²
R est le rayon majeur (du centre du tore au centre du tube) et r le rayon mineur (le rayon du tube). Le volume varie comme le carré du rayon mineur : doubler l’épaisseur du tube quadruple donc le volume. Le volume s’exprime en unités cubiques (par exemple en pieds cubes ou en centimètres cubes).
Aire de la surface d’un tore
SA = 4π² · R · r
Aire totale de la surface extérieure du tore. Elle varie linéairement avec chacun des deux rayons : doubler l’un ou l’autre double l’aire de surface. Celle-ci s’exprime en unités carrées (par exemple en pieds carrés ou en centimètres carrés).
Calcul inverse
r = √(V ÷ 2π²R) or R = V ÷ (2π²r²) or r = SA ÷ (4π²R) or R = SA ÷ (4π²r)
Chaque formule directe peut être inversée pour retrouver le rayon manquant à partir du volume ou de l’aire de surface cible et de l’autre rayon connu. L’onglet Rayons de cette calculatrice effectue l’inversion correspondant à vos données.
Théorème du centroïde de Pappus
V = A · d, SA = P · d
Les deux formules du tore sont des cas particuliers du théorème de Pappus : la rotation d’une forme (ici, un cercle de rayon r) autour d’un axe extérieur produit un volume égal à l’aire de la forme (A = πr²) multipliée par la distance parcourue par son centroïde en un tour (d = 2πR). Le même raisonnement permet de calculer l’aire de surface à partir du périmètre du cercle (P = 2πr).
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Glossaire
Termes clés expliqués
6 termes▸
ToreSurface tridimensionnelle en forme d’anneau obtenue en faisant tourner un cercle autour d’un axe situé dans son plan, sans que cet axe le coupe — c’est le nom mathématique d’une forme de donut.
Rayon majeurDistance R entre le centre du tore et le centre du tube ; elle correspond essentiellement au rayon du trou central du donut plus la moitié de l’épaisseur du tube.
Rayon mineurRayon r du tube lui-même : il indique l’épaisseur de l’anneau du donut, mesurée du centre de la section circulaire du tube jusqu’à son bord extérieur.
DonutNom courant d’un tore : forme d’anneau percée en son centre, dont le volume et l’aire de surface obéissent aux mêmes formules, qu’il s’agisse d’une pâtisserie ou d’une surface mathématique.
RévolutionRotation d’une forme bidimensionnelle (ici, un cercle) sur 360° autour d’un axe pour engendrer un solide tridimensionnel. Le tore est obtenu en faisant tourner un cercle de rayon r autour d’un axe situé à une distance R de son centre.
TubeSection circulaire qui, en tournant autour de l’axe central, forme l’anneau du tore. Le rayon du tube est le rayon mineur r.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Calcul direct
Rayon majeur = 5, rayon mineur = 2
Rayon majeur 5 piRayon mineur 2 pi
Avec un rayon majeur de 5 pi et un rayon mineur de 2 pi, le volume est d’environ 394.78 pi³ et l’aire de surface d’environ 394.78 pi². Il s’agit de l’exemple par défaut de la calculatrice : il permet de vérifier facilement que les deux formules donnent les valeurs de référence pour R=5 et r=2.
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Calcul inverse à partir du volume
Volume cible = 394.78, rayon majeur connu = 5
Mesure cible Volume = 394.78 pi³Rayon connu Rayon majeur = 5 pi
Avec un volume cible de 394.78 pieds cubes et un rayon majeur connu de 5 pi, le calcul inverse r = √(V ÷ 2π²R) donne un rayon mineur d’environ 2.00 pi : c’est le même tore que dans le premier exemple, calculé en sens inverse. Cette méthode peut servir, par exemple, à dimensionner un réservoir annulaire ou un joint pour atteindre une capacité donnée.
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Exemple concret avec un donut
Donut avec un trou de 4 pouces de diamètre et un anneau épais de 1 pouce
Rayon majeur 2 poRayon mineur 1 po
Pour un tore de la taille d’un donut, avec un rayon majeur de 2 po et un rayon mineur de 1 po, le volume est d’environ 39.48 po³ et l’aire de surface d’environ 78.96 po². Comme r est inférieur à R, cette forme ne s’auto-intersecte pas : elle correspond à un tore classique.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
APA
MLA
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Analyse approfondie
Volume et aire de surface d’un tore : le lien avec le donut
Un tore est défini par deux paramètres — le rayon majeur R et le rayon mineur r — qui déterminent son volume et son aire de surface selon le théorème du centroïde de Pappus. Cette calculatrice effectue le calcul direct (à partir des rayons, elle donne le volume et l’aire de surface) ainsi que le calcul inverse (à partir d’une mesure cible et d’un rayon connu, elle détermine l’autre rayon).
Pourquoi les formules font intervenir l’aire et le périmètre d’un cercle multipliés par 2πR
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Un tore est obtenu en faisant tourner un cercle de rayon r autour d’un axe situé à une distance R du centre du cercle. Le théorème du centroïde de Pappus indique que le volume obtenu est égal à l’aire du cercle (πr²) multipliée par la distance parcourue par son centroïde en un tour (2πR), d’où V = πr² × 2πR = 2π²Rr². Pour l’aire de surface, le raisonnement est identique, mais on utilise le périmètre du cercle (2πr) à la place de son aire : SA = 2πr × 2πR = 4π²Rr. Dans les deux cas, il s’agit de multiplier la mesure de la forme par la distance de rotation.
La limite d’auto-intersection : lorsque r ≥ R
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Pour obtenir un tore classique en forme d’anneau, le rayon mineur doit être inférieur au rayon majeur (r < R). Sinon, le tube traverse l’axe central et forme soit un tore corne (r = R), pincé au centre, soit un tore fuseau (r > R), qui s’auto-intersecte. Les formules du volume et de l’aire de surface donnent toujours un nombre dans ces deux cas, mais la forme obtenue n’est plus un simple anneau ; la calculatrice signale donc cette situation.
Quand effectuer un calcul inverse
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La plupart des exercices donnent les deux rayons et demandent de calculer le volume ou l’aire de surface. Dans les problèmes concrets, c’est souvent l’inverse : vous connaissez la capacité requise d’une pièce annulaire ou la quantité de matériau couvrant sa surface, et vous cherchez la dimension manquante. Il suffit d’inverser la formule directe pour calculer le rayon inconnu. L’onglet Rayons effectue automatiquement le calcul selon la mesure et le rayon connus que vous sélectionnez.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule du volume d’un tore ?+
V = 2π²Rr², où R est le rayon majeur (du centre du tore au centre du tube) et r le rayon mineur (le rayon du tube). Pour R = 5 et r = 2, le volume est d’environ 394.78 unités cubiques.
Quelle est la formule de l’aire de surface d’un tore ?+
SA = 4π²Rr, avec les mêmes rayons majeur R et mineur r. Pour R = 5 et r = 2, l’aire de surface est d’environ 394.78 unités carrées — elle est égale au volume dans cet exemple précis, par coïncidence.
Quelle est la différence entre les rayons majeur et mineur ?+
Le rayon majeur (R) est la distance entre le centre du tore et le centre du tube. Le rayon mineur (r) est le rayon du tube lui-même, c’est-à-dire l’épaisseur de l’anneau. R mesure la taille de l’anneau ; r, l’épaisseur du matériau qui le forme.
Un tore est-il la même chose qu’un donut ?+
Oui. Un tore est le nom mathématique d’une forme de donut : un anneau obtenu en faisant tourner un cercle de rayon r autour d’un axe situé à une distance R de son centre, à condition que r reste inférieur à R.
Quelles unités la calculatrice utilise-t-elle ?+
Les rayons majeur et mineur utilisent l’unité de longueur que vous choisissez (pouces, pieds, yards, centimètres ou mètres). Le volume est automatiquement exprimé dans cette unité au cube et l’aire de surface dans cette unité au carré.
Quel est le lien entre le théorème de Pappus et ces formules ?+
Les deux formules découlent directement du théorème du centroïde de Pappus : faire tourner un cercle d’aire πr² et de périmètre 2πr autour d’un axe extérieur situé à une distance R engendre un volume de (πr²)(2πR) = 2π²Rr² et une aire de surface de (2πr)(2πR) = 4π²Rr.
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