La formule de section répond à une question simple de géométrie analytique : étant donné deux points, quelles sont les coordonnées du point qui partage le segment entre eux selon un ratio choisi ? Elle généralise la formule du milieu à n’importe quel ratio et existe sous deux formes : division interne et externe.
Fonctionnement de la formule de section
Pour un segment allant de A(x₁, y₁) à B(x₂, y₂), le point P qui divise AB intérieurement selon le ratio m:n (mesuré de A vers B) est P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)). Il s’agit d’une moyenne pondérée des extrémités : une valeur de n plus élevée rapproche le point de A, tandis qu’une valeur de m plus élevée le rapproche de B. En posant m = n = 1, les poids sont égaux et la formule devient exactement celle du milieu, ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
Division interne et externe
La division interne place le point entre A et B. La division externe le place hors du segment, sur le prolongement de la droite au-delà d’une extrémité, et remplace l’addition par une soustraction dans la formule : P = ((mx₂−nx₁)/(m−n), (my₂−ny₁)/(m−n)). Elle n’est pas définie lorsque m = n, car le dénominateur devient nul ; géométriquement, un ratio externe égal placerait le point à l’infini.
Applications de la formule de section
La formule de section est utilisée en géométrie et en physique : pour trouver le centre de gravité d’un triangle (qui divise chaque médiane selon le ratio 2:1), situer sur une carte un point à une fraction donnée d’une route ou d’un câble, calculer des centres de masse pondérés et interpoler un point sur une ligne en infographie. Elle fait partie des formules fondamentales qui complètent celles de la distance et du milieu en géométrie analytique.