Calculatrice du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore, attribué au mathématicien grec Pythagore vers 500 av. J.-C., est l’un des résultats les plus démontrés des mathématiques. On en connaît plus de 400 démonstrations distinctes. Elisha Loomis en a répertorié 371 dans son ouvrage de 1927, The Pythagorean Proposition : démonstrations géométriques par réarrangement de carrés, algébriques à l’aide de triangles semblables, trigonométriques, et même une démonstration publiée en 1876 par le président américain James Garfield avant son accession à la présidence. Des indices montrent que les mathématiciens babyloniens et indiens connaissaient cette relation des siècles avant Pythagore, auquel ou à son école on attribue néanmoins la première démonstration formelle.

Le théorème est valable dans tout plan euclidien (géométrie plane) et se généralise naturellement à des dimensions supérieures : en 3D, la diagonale d’un pavé droit vérifie d² = a² + b² + c² ; en n dimensions, on additionne n termes au carré. Cette généralisation correspond exactement à la formule de distance euclidienne utilisée en mathématiques, en physique et en informatique. Le théorème est si central qu’il définit la géométrie euclidienne : les espaces où il est valable partout sont dits « euclidiens » ; les espaces où il ne l’est pas, comme les surfaces courbes et les géométries non euclidiennes, demandent d’autres outils mathématiques.

Sur un chantier, les constructeurs utilisent le triplet pythagoricien 3-4-5 pour vérifier un angle droit : on mesure 3 pieds le long d’un mur et 4 pieds le long du mur perpendiculaire ; la diagonale entre les repères doit mesurer exactement 5 pieds si l’angle est droit. Cette méthode, appelée aussi « triangle 3-4-5 » ou « méthode de l’équerre de maçon », sert à tracer des fondations, monter des murs, équerrer des ouvertures de porte et vérifier la perpendicularité de deux éléments. Les triplets multipliés (6-8-10, 9-12-15, 12-16-20) fonctionnent de la même façon sur des projets plus grands, où des distances supérieures permettent des mesures plus précises.

Les systèmes de navigation calculent des distances directes avec ce théorème. Pour les courtes distances où la courbure de la Terre est négligeable, les GPS, les applications cartographiques et les logiciels de planification de vols reposent sur ces calculs. En infographie, la détection de collisions, les calculs de proximité et le rendu 3D font appel à des formules de distance de Pythagore des milliers de fois par image. L’arpentage, l’architecture, la CAO, la planification des trajectoires robotiques et le traitement d’images en dépendent également. Sa simplicité et son universalité en font l’un des résultats les plus utiles en pratique dans des domaines professionnels très variés.

Sur une surface courbe comme une sphère, le théorème de Pythagore ne s’applique pas exactement : la courbure de la surface modifie la relation entre côtés et angles. Un triangle rectangle tracé sur une sphère a des angles intérieurs dont la somme dépasse 180°, et ses côtés sont liés par la loi des cosinus sphérique plutôt que par la relation plane de Pythagore. C’est pourquoi la navigation sur de longues distances à la surface de la Terre utilise la formule de Haversine (à partir de quelques dizaines de kilomètres) au lieu d’une distance pythagoricienne naïve, qui sous-estimerait la distance à parcourir à mesure que la différence de latitude augmente.

Dans la théorie de la relativité restreinte d’Einstein, une forme modifiée du théorème de Pythagore s’applique aux intervalles d’espace-temps : s² = c²t² − x² − y² − z², où c est la vitesse de la lumière, t le temps et (x, y, z) les coordonnées spatiales. Les signes moins des composantes spatiales reflètent la géométrie fondamentalement non euclidienne de l’espace-temps. En relativité générale, près d’objets massifs qui courbent l’espace-temps par gravité, la relation exige des calculs tensoriels encore plus complexes. Ces prolongements montrent que, si le théorème classique n’est exact que dans l’espace euclidien plat, sa structure — une relation quadratique entre les distances — se retrouve jusque dans les théories fondamentales de la physique moderne.