Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers qui vérifient exactement le théorème de Pythagore — sans arrondi ni nombre décimal. Cette calculatrice les génère avec la formule d’Euclide, vérifie si des nombres donnés forment un triplet et liste tous les triplets contenant un côté particulier, à partir de la relation qui fonde la géométrie des triangles rectangles depuis l’Antiquité.
Pourquoi le triplet (3, 4, 5) est particulier
(3, 4, 5) est le plus petit triplet pythagoricien et le seul composé de trois entiers consécutifs. Comme 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², un triangle dont les côtés mesurent ces valeurs possède toujours un angle exactement égal à 90°. C’est pourquoi les bâtisseurs utilisent depuis des millénaires des cordes et des mètres gradués selon le rapport 3-4-5 (ou ses multiples, comme 6-8-10) pour tracer des angles droits, bien avant que l’algèbre correspondante soit formalisée.
Tous les multiples de (3, 4, 5) — (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), et ainsi de suite à l’infini — forment également un triplet valide, car multiplier les trois côtés d’un triangle rectangle par un même facteur conserve tous ses angles.
La formule d’Euclide les génère tous
Euclide a démontré que tout triplet pythagoricien primitif peut être généré à partir de deux entiers m et n (m > n > 0, premiers entre eux et de parités opposées) par les formules a = m² − n², b = 2mn et c = m² + n². Avec m = 2 et n = 1, on obtient (3, 4, 5) ; avec m = 3 et n = 2, (5, 12, 13) ; avec m = 4 et n = 1, (8, 15, 17). Chaque triplet non primitif est ensuite un multiple entier de l’un de ces triplets.
Il ne s’agit pas d’une simple curiosité : l’ensemble infini des triplets pythagoriciens possède une description complète et finie. Il suffit de choisir une paire (m, n) valide pour obtenir un triplet primitif, puis de le multiplier par un entier strictement positif pour obtenir les autres.
Triplets primitifs et non primitifs : comment les distinguer
Un triplet est primitif lorsque pgcd(a, b, c) = 1 : les trois nombres n’ont aucun facteur commun. (5, 12, 13) est primitif ; (10, 24, 26) ne l’est pas, car la division de chaque terme par 2 redonne (5, 12, 13). Pour déterminer si un triplet est primitif, calculez le plus grand diviseur commun de ses trois nombres : s’il vaut 1, le triplet est primitif ; s’il vaut k > 1, sa division par k révèle le triplet primitif correspondant.
Cette distinction compte lorsqu’on recherche tous les triplets contenant un côté donné : la liste complète se compose toujours de quelques triplets primitifs et de leurs multiples. L’onglet Lister par côté indique le type de chaque résultat.