Le calcul de l’aire d’un polygone est l’un des plus anciens problèmes mathématiques : les Égyptiens de l’Antiquité s’en servaient pour mesurer les terres après les crues du Nil, et Archimède utilisait des polygones inscrits et circonscrits pour approcher π. Aujourd’hui, le calcul de l’aire des polygones est au cœur de la mesure des surfaces par SIG, du rendu graphique, de l’architecture, de la conception de pavages et d’innombrables applications d’ingénierie. Les méthodes vont de la formule simple (rectangle = largeur × hauteur) à la formule générale (formule du lacet pour tout polygone défini par les coordonnées de ses sommets). Savoir laquelle utiliser est une notion fondamentale de géométrie.

Polygones réguliers : approche fondée sur l’apothème

Toutes les formules d’aire des polygones réguliers reposent sur la même idée : le polygone se divise en n triangles isocèles congruents issus du centre, chacun de base s et de hauteur égale à l’apothème a. L’aire de chaque triangle vaut ½ × s × a, et l’aire totale vaut n × ½ × s × a = ½ × (n × s) × a = ½ × périmètre × apothème. Cette forme rend la formule intuitive : on calcule la moitié du produit de la longueur du contour par le rayon intérieur, comme pour un cercle A = ½ × 2πr × r = πr². L’apothème augmente avec n (à mesure que le polygone se rapproche d’un cercle) ; pour un grand nombre de côtés, l’aire du polygone tend donc vers πR², où R est le rayon circonscrit. L’aire d’un polygone à 100 côtés est à moins de 0.05 % de celle de son cercle circonscrit. Archimède avait encadré π entre 223/71 et 22/7 en utilisant des polygones à 96 côtés.

Formules des quadrilatères et leur principe commun

Les quatre grandes formules de quadrilatère — rectangle (w × h), parallélogramme (base × h), trapèze (½(b₁+b₂)×h) et losange ((d₁×d₂)/2) — reposent sur un principe commun : tout polygone peut être décomposé en triangles. Les formules du rectangle et du parallélogramme ont la même structure (base × hauteur perpendiculaire), car on peut transformer un parallélogramme en rectangle en découpant un triangle rectangle à une extrémité et en le plaçant à l’autre. La formule du trapèze fait la moyenne des deux bases parallèles avant de la multiplier par la hauteur, comme une moyenne pondérée reflétant la largeur différente de chaque base. Pour le losange, les diagonales le divisent en quatre triangles rectangles de côtés d₁/2 et d₂/2 ; son aire totale vaut donc 4 × ½ × (d₁/2) × (d₂/2) = d₁d₂/2.

Formule du lacet : aire générale à partir des coordonnées

La formule du lacet apporte une solution générale au calcul de l’aire d’un polygone : à partir des coordonnées (x,y) ordonnées des sommets d’un polygone simple (sans croisement), elle calcule l’aire algébrique ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|. La formule est exacte, et non approximative ; elle s’applique aux polygones convexes ou concaves, quel que soit leur nombre de sommets, leur orientation ou leur position. Son nom vient du motif visuel obtenu en disposant les coordonnées dans deux colonnes et en calculant les produits croisés en diagonale, comme pour lacer une chaussure. Le calcul est de complexité O(n), donc linéaire par rapport au nombre de sommets, et reste efficace pour les polygones comportant des milliers de points. Les SIG modernes, les moteurs de jeu qui rastérisent les polygones et les logiciels de topographie utilisent la formule du lacet (ou des intégrales équivalentes du théorème de Green). Les sommets doivent toutefois être ordonnés (tous dans le sens horaire ou tous dans le sens antihoraire), et le contour ne doit pas se croiser.