Calculatrice d’octaèdre

Edge Length

Longueur d’arête

Unité

All eight faces of a regular octahedron are identical equilateral triangles, so a single edge length determines every other measurement.

Volume

—

Enter an edge length above to see the volume.

—

Aire de surface

—

Rayon de la sphère inscrite

Enter an edge length above to see the volume, surface area, and radii.

4 min de lecture 3 étapes 7 termes 3 exemples 6 questions V = (√2/3) × a³

L’octaèdre régulier est l’un des cinq solides de Platon.

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Étapes

Comment utiliser cette calculatrice

3 étapes

Saisissez la longueur d’une arête

Saisissez la longueur d’une arête de l’octaèdre régulier dans l’unique champ, puis choisissez une unité — pouces, pieds, centimètres ou mètres. Toutes les arêtes d’un octaèdre régulier ayant la même longueur, cette seule valeur suffit à la calculatrice. Le résultat se met à jour dès la saisie.

Consultez le volume

L’onglet Volume affiche le volume en unités cubiques, ainsi que l’aire de surface et le rayon de la sphère inscrite comme mesures complémentaires. La ligne d’interprétation présente le volume et l’aire de surface dans une même phrase.

Vérifiez l’aire de surface et les rayons

Passez à l’onglet Aire de surface pour voir le détail des huit faces (aire totale et aire par face), ou à l’onglet Rayons pour connaître le rayon de la sphère inscrite, la plus grande qui puisse tenir à l’intérieur, et celui de la sphère circonscrite, qui passe par les six sommets. Les deux résultats sont mis à jour automatiquement lorsque vous modifiez la longueur d’arête.

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Référence

Formule et méthodologie

3 formules

Volume

V = (√2/3) × a³

Le volume d’un octaèdre régulier ne dépend que de la longueur d’arête a, élevée au cube et multipliée par √2/3 (≈ 0.4714). Sur le plan géométrique, on peut décomposer l’octaèdre en deux pyramides à base carrée réunies par leurs bases ; cette formule s’obtient en additionnant leurs volumes.

Aire de surface

SA = 2√3 × a²

Un octaèdre régulier possède huit faces triangulaires équilatérales identiques. Chaque face a une aire de (√3/4) × a² ; l’aire totale vaut donc 8 × (√3/4) × a² = 2√3 × a².

Rayons des sphères inscrite et circonscrite

r = a/√6, R = a/√2

Le rayon r de la sphère inscrite est celui de la plus grande sphère pouvant tenir entièrement dans l’octaèdre, tangente au centre de chaque face. Le rayon R de la sphère circonscrite est celui de la plus petite sphère passant par les six sommets. Les deux résultent directement de la géométrie symétrique de l’octaèdre : centré à l’origine, ses six sommets ont pour coordonnées (±a/√2, 0, 0), (0, ±a/√2, 0) et (0, 0, ±a/√2).

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Glossaire

Termes clés expliqués

7 termes

Octaèdre Solide tridimensionnel composé de huit faces triangulaires, de six sommets et de douze arêtes. Un octaèdre régulier ressemble à deux pyramides à base carrée réunies par leurs bases ; c’est l’un des cinq solides de Platon.

Solide de Platon L’un des cinq polyèdres convexes dont les faces sont des polygones réguliers identiques et dont le même nombre de faces se rejoignent à chaque sommet : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre.

Arête L’un des douze segments de droite à l’intersection de deux faces. Dans un octaèdre régulier, toutes les arêtes ont la même longueur, notée a : c’est la seule donnée dont cette calculatrice a besoin.

Face L’une des huit surfaces triangulaires planes de l’octaèdre. Dans un octaèdre régulier, chaque face est un triangle équilatéral identique, d’aire (√3/4) × a².

Volume Espace tridimensionnel délimité par l’octaèdre, mesuré en unités cubiques. Pour un octaèdre régulier d’arête a, V = (√2/3) × a³.

Sphère inscrite Plus grande sphère pouvant tenir entièrement à l’intérieur d’un solide et tangente au centre de chacune de ses faces. Pour un octaèdre régulier d’arête a, son rayon vaut a/√6.

Sphère circonscrite Plus petite sphère passant par tous les sommets d’un solide. Pour un octaèdre régulier d’arête a, son rayon vaut a/√2.

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Situations types

Exemples concrets

3 exemples

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Exercice de géométrie

Longueur d’arête : 4

Longueur d’arête 4 po

Volume = (√2/3) × 4³ = 0.4714 × 64 ≈ 30.17 po³. Aire de surface = 2√3 × 4² = 3.464 × 16 ≈ 55.43 po². Rayon de la sphère inscrite = 4/√6 ≈ 1.63 po. Rayon de la sphère circonscrite = 4/√2 ≈ 2.83 po. Chacune des huit faces a une aire d’environ 6.93 po² (55.43 ÷ 8).

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Taille d’une gemme octaédrique

Longueur d’arête : 1.2 cm

Longueur d’arête 1.2 cm

Volume = (√2/3) × 1.2³ ≈ 0.4714 × 1.728 ≈ 0.81 cm³. Aire de surface = 2√3 × 1.2² ≈ 3.464 × 1.44 ≈ 4.99 cm². Le rayon de la sphère inscrite vaut environ 1.2/2.449 ≈ 0.49 cm, ce qui permet d’estimer comment un petit cristal octaédrique (comme un diamant ou une fluorite naturelle) s’ajuste dans un sertissage.

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Comparaison des échelles

Longueur d’arête : 8 (le double de l’exemple)

Longueur d’arête 8 po

Doubler la longueur d’arête de 4 à 8 multiplie le volume par 2³ = 8 (d’environ 30.17 à 241.36 po³) et l’aire de surface par 2² = 4 (d’environ 55.43 à 221.7 po²), tandis que les deux rayons ne font que doubler (sphère inscrite : environ 1.63 à 3.27 po ; sphère circonscrite : environ 2.83 à 5.66 po). Cela illustre directement la façon différente dont évoluent le volume, l’aire et les mesures linéaires.

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Référence

Citer cette calculatrice

APA et MLA

Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.

APA

MLA

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Analyse approfondie

Toutes les mesures de l’octaèdre à partir d’une seule arête

3 chapitres · 4 min de lecture

L’octaèdre régulier est l’un des cinq solides de Platon. Il possède huit faces triangulaires équilatérales identiques, six sommets et douze arêtes de même longueur ; il a la forme de deux pyramides à base carrée réunies par leurs bases. Puisque toutes ses arêtes sont égales, une seule valeur — la longueur d’arête a — suffit pour calculer le volume, l’aire de surface et les rayons des sphères inscrite et circonscrite. Cette calculatrice fournit immédiatement ces résultats et explique les liens entre eux.

Fonctionnement de la calculatrice d’octaèdre

La calculatrice part de la longueur d’arête a et applique les formules exactes issues de la géométrie de l’octaèdre. Le volume est V = (√2/3) × a³ ; cela revient à additionner les volumes des deux pyramides à base carrée qui composent la forme. L’aire de surface vaut SA = 2√3 × a², soit la somme des aires des huit faces triangulaires équilatérales, chacune égale à (√3/4) × a². Le rayon de la sphère inscrite — la plus grande qui puisse tenir à l’intérieur et toucher toutes les faces — vaut r = a/√6 ; celui de la sphère circonscrite — la plus petite qui passe par tous les sommets — vaut R = a/√2. Ces deux résultats découlent de la disposition symétrique des six sommets le long des axes x, y et z.

La donnée et sa signification

La seule donnée à saisir est la longueur d’arête, en pouces, pieds, centimètres ou mètres. Comme les douze arêtes d’un octaèdre régulier sont égales, cette mesure détermine entièrement sa forme ; il n’y a ni base ni hauteur distincte à saisir. Le sélecteur d’unité ne fait qu’indiquer l’unité d’affichage : le volume est automatiquement présenté en unités cubiques et l’aire de surface en unités carrées. La calculatrice ne convertit pas les systèmes d’unités ; veillez donc à choisir l’unité correspondant à la valeur saisie.

Limites et cas particuliers

Cette calculatrice suppose un octaèdre régulier, dont les huit faces sont des triangles équilatéraux congruents. Un octaèdre irrégulier — dont les faces sont de tailles différentes, comme certains cristaux ou objets d’ingénierie — nécessite un calcul tridimensionnel complet à partir de ses coordonnées, car son volume et son aire de surface ne se déduisent plus d’une seule longueur d’arête. Pour une pyramide à base carrée, utilisez la calculatrice de pyramide ; pour les autres solides de Platon, consultez celles du tétraèdre (quatre faces) et du cube (six faces).

❓

Questions

Questions fréquentes

6 questions

Quelle est la formule du volume d’un octaèdre ?+

V = (√2/3) × a³, où a désigne la longueur d’arête d’un octaèdre régulier. Pour une arête de 4 unités, on obtient 0.4714 × 64 ≈ 30.17 unités cubiques.

Combien de faces possède un octaèdre ?+

Un octaèdre régulier possède huit faces triangulaires équilatérales, douze arêtes et six sommets. Il ressemble à deux pyramides à base carrée réunies par leurs bases.

L’octaèdre est-il un solide de Platon ?+

Oui. L’octaèdre régulier est l’un des cinq solides de Platon, avec le tétraèdre, le cube, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Toutes ses faces, ses arêtes et ses angles aux sommets sont identiques.

Quelle est la formule de l’aire de surface d’un octaèdre ?+

SA = 2√3 × a², soit l’aire totale de ses huit faces triangulaires équilatérales identiques. Pour une arête de 4 unités, cela donne environ 3.464 × 16 ≈ 55.43 unités carrées, soit environ 6.93 unités carrées par face.

Quel est le rayon de la sphère circonscrite à un octaèdre ?+

Pour un octaèdre régulier d’arête a, le rayon de la plus petite sphère passant par ses six sommets vaut R = a/√2. Pour une arête de 4 unités, cela représente environ 4/1.414 ≈ 2.83 unités.

Quelles unités utilise la calculatrice d’octaèdre ?+

Saisissez la longueur d’arête en pouces, pieds, centimètres ou mètres, en choisissant l’unité dans la liste. Les rayons des sphères inscrite et circonscrite utilisent cette même unité de longueur ; l’aire de surface est exprimée en unités carrées (po², pi², cm² ou m²) et le volume en unités cubiques (po³, pi³, cm³ ou m³).

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