Le point milieu est le point situé exactement à mi-chemin entre deux autres points ; c’est l’un des résultats les plus utiles de la géométrie analytique. Ce guide présente la formule du point milieu, son lien avec la distance et la pente, son extension à la 3D et la méthode pour retrouver une extrémité manquante.

La formule du point milieu : une simple moyenne

Pour trouver le point situé à mi-chemin entre deux valeurs sur une droite numérique, on en calcule la moyenne : entre 2 et 8, le point milieu est (2 + 8)/2 = 5. La formule du point milieu fait exactement la même chose, axe par axe : M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). En trois dimensions, on calcule aussi la moyenne des valeurs z. Chaque coordonnée étant traitée indépendamment, la formule s’étend à n’importe quel nombre de dimensions sans changer de forme.

Le résultat se trouve toujours sur le segment rectiligne reliant les deux points et le partage en deux parties égales : la distance de A à M est donc égale à celle de M à B.

Distance et pente du même segment

Une fois les deux points connus, deux autres résultats s’obtiennent presque directement. La distance qui les sépare est la longueur du segment, calculée avec d = √(Δx² + Δy²) : le théorème de Pythagore, où les différences de coordonnées sont les côtés d’un triangle rectangle. En 3D, on ajoute Δz² sous la racine.

La pente, notion propre à la 2D, mesure l’inclinaison par le rapport entre la variation verticale et la variation horizontale : m = Δy ÷ Δx. Une pente positive monte vers la droite, une pente négative descend, et une droite horizontale a une pente nulle. Si les deux points ont la même abscisse, la variation horizontale est nulle : la pente n’est alors pas définie, plutôt qu’infinie. La calculatrice le précise au lieu de diviser par zéro.

Travailler en trois dimensions

Le passage en 3D ajoute une coordonnée z à chaque point. Les formules du point milieu et de la distance gagnent simplement un terme en z. En revanche, une droite de l’espace n’a pas de pente unique : elle est décrite par un vecteur directeur, et non par un seul rapport entre montée et déplacement horizontal. La calculatrice affiche donc « non disponible en 3D » pour la pente. Le schéma de coordonnées reste utile, car il montre la projection du segment sur le plan xy.

Réorganiser la formule pour retrouver une extrémité

On connaît parfois le milieu d’un segment et l’une de ses extrémités, mais on cherche l’autre, par exemple pour construire le symétrique d’un point par rapport à un centre. En réorganisant la formule du point milieu, on obtient B = 2M − A : doublez les coordonnées du point milieu puis soustrayez, coordonnée par coordonnée, celles de l’extrémité connue. L’onglet « Trouver une extrémité » effectue ce calcul automatiquement. Pour vérifier le résultat, saisissez-le dans l’onglet Point milieu.