Distance entre deux points

La formule de la distance applique directement le théorème de Pythagore à la géométrie des coordonnées. Comprendre ce lien permet de voir pourquoi la formule s’écrit ainsi. En deux dimensions, l’écart horizontal (x₂−x₁) et l’écart vertical (y₂−y₁) sont les deux côtés d’un triangle rectangle, dont l’hypoténuse est la distance en ligne droite entre les points. La relation a² + b² = c² devient (Δx)² + (Δy)² = d² ; en prenant la racine carrée, on obtient d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).

Cette logique s’étend naturellement à trois dimensions ou plus : en 3D, on ajoute (z₂−z₁)² sous la racine carrée ; la distance euclidienne en n dimensions additionne les carrés des écarts dans toutes les dimensions. Les systèmes GPS étendent ce concept aux coordonnées ellipsoïdales tridimensionnelles (latitude, longitude, altitude sur une Terre aplatie aux pôles) pour localiser un point à quelques mètres près, puis utilisent la mesure précise du temps des signaux satellites pour calculer la distance. Les algorithmes d’apprentissage automatique calculent des distances dans des espaces de caractéristiques de très grande dimension (plus de 100 dimensions) avec la même extension pythagoricienne. Au-delà de 3D, l’intuition devient toutefois moins évidente et des métriques abstraites peuvent mieux convenir au problème.

La distance euclidienne convient aux trajets en ligne droite dans un espace plan, mais les applications réelles nécessitent souvent d’autres métriques. La distance de Manhattan (ou distance L1, dite « du taxi ») modélise les déplacements en ville le long des rues en quadrillage, sans diagonale à travers les bâtiments : |x₂−x₁| + |y₂−y₁|. La distance de Chebyshev (L∞) mesure le déplacement maximal sur un seul axe ; elle modélise les déplacements du roi aux échecs, où une diagonale compte autant qu’un déplacement horizontal ou vertical. La distance de Minkowski généralise ces métriques et inclut la distance euclidienne (p=2), Manhattan (p=1) et Chebyshev (p=∞) comme cas particuliers.

La formule de Haversine tient compte de la courbure terrestre pour calculer la distance entre deux villes ; elle utilise la longueur de l’arc à la surface de la sphère plutôt que la ligne droite, qui traverserait la planète. La formule de Vincenty améliore Haversine en tenant compte de la forme aplatie de la Terre et atteint une précision millimétrique pour la plupart des distances pratiques. Le choix de la métrique est essentiel pour la navigation (Haversine pour les longues distances, euclidienne pour les courtes), le regroupement en apprentissage automatique (euclidienne pour les caractéristiques continues, Manhattan pour les échelles différentes), les systèmes de recommandation (similarité cosinus pour les vecteurs creux de grande dimension) et l’optimisation logistique (Manhattan pour les trajets urbains, euclidienne pour les vols de drones).

La formule principale est d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), où (x₁, y₁) et (x₂, y₂) sont deux points quelconques du plan cartésien. Elle est indépendante de la direction : l’ordre des points n’a pas d’importance, car le carré élimine le signe. Le calculateur affiche aussi le milieu du segment, c’est-à-dire ses coordonnées centrales exactes, utile en géométrie et en infographie lorsqu’il faut trouver un point central.

De petits changements des coordonnées entraînent des changements proportionnels de la distance. La précision de saisie compte donc lorsque le résultat sert à d’autres calculs (plans architecturaux, trajectoires d’usinage CNC, arpentage). Pour de très petites distances entre des coordonnées qui partagent de nombreux chiffres initiaux, comme deux points GPS rapprochés, une soustraction naïve de nombres presque égaux en virgule flottante peut faire perdre de la précision. Le calculateur utilise des méthodes numériquement stables pour ces cas limites. Vérifiez toujours la convention de votre système de coordonnées : permuter les axes x et y conserve la distance (invariance par rotation), mais modifie le milieu.