Calculez la distance entre deux points dans l’espace 3D à l’aide de la formule de distance, ainsi que le milieu et le vecteur qui les relient.
Two Points
A
B
Try:
Distance en 3D
—
Enter both points to see the distance.
—
Δx
—
Δy
—
Δz
Enter both points above to see the 3D distance.
Milieu de A et B
—
Enter both points to compute the midpoint.
The midpoint is the exact center of the line segment connecting Point A and Point B — found by averaging each coordinate separately: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2).
Vecteur de déplacement, A → B
—
Enter both points to compute the vector.
—
Norme
The vector from A to B is B − A: (x2−x1, y2−y1, z2−z1). Its magnitude (length) is the same value as the 3D distance.
3 min de lecture3 étapes6 termes3 exemples6 questionsd = √(Δx² + Δy² + Δz²)
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
3 étapes▸
1
Saisissez les coordonnées des deux points
Saisissez les coordonnées x, y et z des points A et B dans le panneau de saisie commun. Les trois onglets ci-dessous utilisent les mêmes points.
2
Lisez la distance
L’onglet Distance affiche la distance en ligne droite entre les deux points, calculée avec d = √(Δx²+Δy²+Δz²) : le théorème de Pythagore étendu à une troisième dimension.
3
Vérifiez le milieu et le vecteur
Passez à l’onglet Milieu pour voir le centre exact du segment reliant A et B, ou à l’onglet Vecteur pour voir le déplacement de A vers B et sa norme.
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Référence
Formule et méthodologie
3 formules▸
Formule de la distance en 3D
d = √(Δx² + Δy² + Δz²)
Δx, Δy et Δz sont les différences entre les points B et A sur chaque axe (x2−x1, y2−y1, z2−z1). Élever ces différences au carré, les additionner puis prendre la racine carrée donne la distance en ligne droite entre les deux points. C’est une extension en trois dimensions du théorème de Pythagore en 2D. Le résultat utilise la même unité de longueur que les coordonnées.
Formule du milieu
M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
Le milieu est la moyenne des coordonnées des deux points, axe par axe : c’est le centre exact du segment qui les relie.
Vecteur de déplacement
v = B − A = (x2−x1, y2−y1, z2−z1)
Le vecteur orienté du point A vers le point B. Ses trois composantes sont les mêmes Δx, Δy et Δz que dans la formule de distance, et sa norme (longueur) est égale à la distance en 3D.
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Glossaire
Termes clés expliqués
6 termes▸
Distance en 3DLa longueur en ligne droite du segment reliant deux points dans l’espace tridimensionnel, calculée avec √(Δx²+Δy²+Δz²).
Distance euclidienneLa mesure standard de la distance « à vol d’oiseau », fondée sur le théorème de Pythagore. Elle s’applique en 2D, en 3D ou dans n’importe quelle dimension en additionnant les carrés des différences de coordonnées.
MilieuLe point situé exactement à mi-chemin entre deux points donnés, obtenu en calculant la moyenne de leurs coordonnées sur chaque axe.
Vecteur de déplacementUn vecteur qui indique la direction et la distance d’un point à un autre. De A vers B, il vaut B − A et ses composantes sont (Δx, Δy, Δz).
CoordonnéesLes valeurs (x, y, z) qui situent un point dans l’espace tridimensionnel par rapport à une origine fixe.
Théorème de PythagoreDans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La formule de distance en 3D prolonge ce principe en enchaînant deux triangles rectangles : l’un dans le plan xy, l’autre montant vers l’axe z.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
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Exemple de base
De l’origine au point (1, 2, 2)
Point A (0, 0, 0)Point B (1, 2, 2)
Δx=1, Δy=2 et Δz=2, donc d = √(1²+2²+2²) = √9 = 3. C’est l’exemple par défaut du calculateur : un résultat exact et simple à vérifier à la main.
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Vérification du milieu
Les mêmes points, onglet Milieu
Point A (0, 0, 0)Point B (1, 2, 2)
Le milieu est la moyenne de chaque coordonnée : ((0+1)/2, (0+2)/2, (0+2)/2) = (0.5, 1, 1). C’est le centre exact du segment entre les deux points.
➡️
Vérification du vecteur
Les mêmes points, onglet Vecteur
Point A (0, 0, 0)Point B (1, 2, 2)
Le vecteur de déplacement de A vers B vaut B − A = (1−0, 2−0, 2−0) = (1, 2, 2). Sa norme, √(1²+2²+2²) = 3, est égale à la distance du premier exemple : la longueur du vecteur est toujours égale à la distance entre les points.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
Le calcul de la distance entre deux points dans l’espace tridimensionnel intervient souvent en géométrie, en physique, en infographie et en ingénierie, partout où les positions sont définies par des coordonnées x, y et z. Ce calculateur applique directement la formule de distance en 3D et fournit aussi deux résultats liés : le milieu du segment et le vecteur de déplacement entre les points.
Comment fonctionne la formule de distance en 3D
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La formule d = √(Δx²+Δy²+Δz²) est le prolongement direct de la formule de distance en 2D, qui n’est autre que le théorème de Pythagore. En 2D, on calcule l’hypoténuse d’un triangle rectangle formé par Δx et Δy. En 3D, on applique deux fois le théorème de Pythagore : d’abord pour obtenir la diagonale dans le plan xy (√(Δx²+Δy²)), puis en prenant cette diagonale et Δz comme côtés d’un second triangle rectangle qui monte vers l’axe z. En développant les carrés et en simplifiant, on obtient la formule compacte à trois termes utilisée ici.
Coordonnées d’entrée et leur signification
▸
Le calculateur prend six nombres en entrée : les coordonnées x, y et z du point A, puis celles du point B. Aucune unité particulière n’est requise : la formule fonctionne de la même façon avec des mètres, des pouces, des pixels ou toute autre unité cohérente, et le résultat est exprimé dans cette même unité. Les coordonnées négatives sont acceptées, car l’espace 3D s’étend dans les deux directions sur chaque axe.
Limites et cas particuliers
▸
Lorsque les points A et B ont les mêmes coordonnées, la distance vaut 0 et le vecteur de déplacement est (0, 0, 0) : il n’y a pas de direction pertinente à indiquer. Cette formule mesure uniquement la distance en ligne droite ; elle ne tient compte ni des obstacles, ni des chemins courbes, ni des contraintes d’itinéraire. Elle diffère aussi de la distance de Manhattan, qui additionne les différences absolues des coordonnées au lieu de prendre la racine carrée de la somme de leurs carrés. Les deux mesures ne donnent le même résultat que lorsque les points sont alignés sur un seul axe.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule de distance en 3D ?+
d = √(Δx²+Δy²+Δz²), où Δx, Δy et Δz sont les différences entre les coordonnées x, y et z des deux points. C’est le prolongement direct du théorème de Pythagore en trois dimensions.
Quelle est la différence avec la formule de distance en 2D ?+
La formule en 2D repose sur le même principe, sans le terme z : d = √(Δx²+Δy²). Si les deux points ont la même coordonnée z, la formule en 3D se réduit exactement à celle en 2D.
Comment trouver le milieu de deux points en 3D ?+
Calculez la moyenne de chaque coordonnée séparément : milieu = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2). Ce point se trouve exactement à mi-chemin entre A et B sur chaque axe.
Quelles unités utilise le résultat ?+
La même unité de longueur que celle des coordonnées. La formule est indépendante des unités : si vous saisissez des coordonnées en mètres, la distance est en mètres ; si vous les saisissez en pouces, elle est en pouces.
Qu’est-ce que le vecteur de déplacement ?+
Le vecteur du point A au point B, calculé comme B − A : (x2−x1, y2−y1, z2−z1). Il indique la direction et le déplacement ; sa norme est égale à la distance en 3D.
Est-ce la même chose que la distance de Manhattan ?+
Non. La distance de Manhattan additionne les différences absolues (|Δx|+|Δy|+|Δz|) au lieu de prendre la racine carrée de la somme des carrés. Elle mesure un déplacement sur une grille, comme dans les rues d’une ville, plutôt qu’en ligne droite, et donne généralement une valeur supérieure à la distance euclidienne entre les mêmes points.
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