Un système d’équations linéaires consiste à trouver des valeurs des variables qui rendent toutes les équations vraies simultanément. Cette calculatrice résout exactement les systèmes 2×2 et 3×3, sous forme de fractions et sans arrondir les décimales, et détaille deux méthodes complémentaires : la règle de Cramer avec les déterminants et l’élimination de Gauss. Elle détecte également les deux cas particuliers qui déroutent souvent les élèves : l’absence de solution et l’existence d’une infinité de solutions.
Trois méthodes pour résoudre un système
La substitution consiste à isoler une variable dans une équation, puis à remplacer cette variable par l’expression obtenue dans les autres équations. Elle est rapide lorsqu’un coefficient vaut déjà 1. L’élimination (méthode de Gauss) consiste à ajouter un multiple d’une équation à une autre pour annuler une variable, puis à effectuer des substitutions arrière ; elle s’adapte facilement aux grands systèmes et est utilisée par les ordinateurs. La règle de Cramer exprime chaque inconnue comme un rapport de déterminants : elle est élégante et montre bien pourquoi une solution existe, mais devient lente au-delà des systèmes 3×3. Les trois méthodes donnent le même résultat ; cet outil présente côte à côte l’élimination et la règle de Cramer pour relier les calculs algébriques aux déterminants.
Ce que révèle le déterminant
Le déterminant D de la matrice des coefficients est le nombre le plus instructif de tout le problème. Si D ≠ 0, le système possède exactement une solution que la règle de Cramer fournit directement. Si D = 0, les équations ne sont pas indépendantes et l’un de deux cas particuliers se présente. Géométriquement, deux équations en x et y représentent deux droites : un déterminant non nul signifie qu’elles se croisent une fois ; un déterminant nul signifie qu’elles sont confondues (une infinité de solutions) ou parallèles (aucune solution). La même logique s’applique aux plans en trois variables.
Aucune solution ou une infinité de solutions
Lorsque D = 0, il faut encore déterminer quel cas dégénéré s’applique. Pour cela, comparez le rang de la matrice des coefficients avec celui de la matrice augmentée (coefficients et colonne des constantes). Si l’ajout des constantes augmente le rang, les équations se contredisent : il n’y a aucune solution, comme pour des droites parallèles. Si les rangs sont égaux, les équations sont dépendantes et il existe une infinité de solutions : c’est la même droite ou le même plan décrit deux fois. La calculatrice compare automatiquement les rangs et indique le résultat, sans avoir à le deviner.
Pourquoi les fractions exactes sont utiles
Les systèmes linéaires produisent souvent des décimaux illimités : x = 7/3 est exact, contrairement à 2,333… Un arrondi prématuré peut masquer une structure et accumuler des erreurs, notamment lors des substitutions arrière. Cette calculatrice conserve chaque valeur sous forme de fraction exacte grâce à l’arithmétique sur les grands entiers : 7/3 reste 7/3. Une approximation décimale arrondie apparaît sous chaque fraction pour faciliter la lecture, mais la fraction reste la valeur de référence.