Calculateur de matrice inverse | Calculateur gratuit

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Étapes

Comment utiliser cette calculatrice

4 étapes

1

Choisissez la taille de la matrice

Choisissez 2×2 ou 3×3 dans le sélecteur de taille. La grille de saisie s’adapte et un exemple résolu se charge automatiquement pour illustrer immédiatement la méthode.

2

Saisissez les valeurs de la matrice

Cliquez sur une cellule de la matrice A et saisissez un nombre. L’inverse, le déterminant et la vérification se mettent à jour instantanément ; aucun bouton de calcul n’est nécessaire.

3

Consultez l’inverse et le déterminant

La carte de résultat affiche A⁻¹ dès que la matrice est inversible. Ouvrez l’onglet Déterminant pour voir le développement par cofacteurs (de Laplace) de det(A), ou l’onglet Inverse pour suivre les étapes de la matrice des cofacteurs et de l’adjugée.

4

Vérifiez le résultat

Ouvrez l’onglet Vérification pour voir le produit de A par A⁻¹. Si le résultat est la matrice identité I, l’inverse est correcte. Si det(A) = 0, le calculateur indique que la matrice est singulière et n’a pas d’inverse.

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Référence

Formule et méthodologie

2 formules

Inverse par la méthode de l’adjugée

A⁻¹ = adj(A) / det(A)

L’adjugée de A est la transposée de sa matrice des cofacteurs : adj(A) = Cᵀ, où chaque cofacteur Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ et Mᵢⱼ est le déterminant du mineur obtenu après suppression de la ligne i et de la colonne j. Diviser chaque élément de l’adjugée par det(A) donne A⁻¹. Une matrice n’est inversible que si det(A) ≠ 0 ; un déterminant nul signifie que la matrice est singulière.

Raccourci pour une matrice 2×2

For A = [[a, b], [c, d]]: A⁻¹ = (1/(ad−bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

Pour une matrice 2×2, la méthode de l’adjugée se réduit à échanger les éléments diagonaux, changer le signe des éléments hors diagonale, puis diviser par le déterminant ad − bc.

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Glossaire

Termes clés expliqués

7 termes

Matrice inverse (A⁻¹) Matrice qui, multipliée par la matrice d’origine A, donne la matrice identité : A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Seules les matrices carrées dont le déterminant est non nul possèdent une inverse.

Adjointe (adj(A)) Transposée de la matrice des cofacteurs. La division de l’adjointe par le déterminant donne l’inverse : A⁻¹ = adj(A)/det(A).

Cofacteur Déterminant du mineur associé à une ligne et une colonne, affecté d’un signe : Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ. Les signes alternent en damier, en commençant par + en haut à gauche.

Déterminant (det(A)) Nombre calculé à partir d’une matrice carrée qui indique si elle est inversible. Si det(A) = 0, la matrice n’a pas d’inverse.

Matrice identité (I) Matrice carrée dont la diagonale principale ne contient que des 1 et tous les autres éléments sont des 0. Le produit d’une matrice inversible par son inverse donne I.

Matrice singulière Matrice carrée dont le déterminant est nul. Une matrice singulière n’a pas d’inverse, car ses lignes ou ses colonnes sont linéairement dépendantes.

Inversible Une matrice est inversible (ou non singulière) lorsque son déterminant est non nul, ce qui garantit l’existence d’une inverse unique.

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Situations types

Exemples concrets

3 exemples

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Inverse d’une matrice 2×2

A = [[4, 7], [2, 6]]

Matrice A [[4, 7], [2, 6]]

det(A) = (4)(6) − (7)(2) = 24 − 14 = 10. Avec le raccourci 2×2, A⁻¹ = (1/10)·[[6, −7], [−2, 4]] = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]]. Le produit de A par A⁻¹ donne la matrice identité, ce qui confirme le résultat.

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Inverse d’une matrice 3×3 par l’adjugée

A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]

Matrice A [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]

det(A) = 1 par développement des cofacteurs selon la première ligne. La transposée de la matrice des cofacteurs, divisée par det(A) = 1, donne A⁻¹ = [[−24, 18, 5], [20, −15, −4], [−5, 4, 1]] : un exemple classique de manuel, facile à vérifier à la main.

⚠️

Matrice singulière

A = [[1, 2], [2, 4]]

Matrice A [[1, 2], [2, 4]]

La deuxième ligne est exactement le double de la première, donc det(A) = (1)(4) − (2)(2) = 0. Le calculateur signale que la matrice est singulière : elle n’a pas d’inverse et l’onglet Vérification explique pourquoi le produit A·A⁻¹ ne peut pas être vérifié.

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Référence

Citer cette calculatrice

APA et MLA

Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.

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MLA

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Analyse approfondie

Comprendre le calculateur de matrice inverse

3 chapitres · 3 min de lecture

L’inverse d’une matrice annule l’effet de cette matrice : multiplier une matrice par son inverse donne toujours la matrice identité. Ce calculateur détermine A⁻¹ pour les matrices 2×2 et 3×3 par la méthode de l’adjugée, une approche fondée sur une formule qui correspond à la méthode enseignée en algèbre linéaire.

Fonctionnement de la méthode de l’adjugée

La méthode de l’adjugée construit l’inverse à partir de trois éléments : le déterminant, la matrice des cofacteurs et l’adjugée. Chaque cofacteur est le déterminant de la matrice réduite après suppression d’une ligne et d’une colonne, multiplié par un signe alterné (+, −, +, − en damier). En réunissant les cofacteurs dans une matrice puis en la transposant, on obtient l’adjugée. La division de l’adjugée par le déterminant donne A⁻¹.

Pour une matrice 2×2, cela se réduit à un raccourci bien connu : échanger les deux éléments diagonaux, changer le signe des deux éléments hors diagonale, puis tout diviser par ad − bc. Pour les matrices 3×3, le calculateur développe le déterminant selon la première ligne et calcule explicitement les neuf cofacteurs ; l’onglet Inverse présente ces étapes.

Signification des valeurs saisies

Choisissez une taille de matrice (2×2 ou 3×3), puis remplissez la grille avec des nombres réels quelconques, positifs, négatifs ou décimaux. Aucune conversion d’unités n’est nécessaire : le calculateur utilise les nombres tels qu’ils sont saisis. Les boutons de préréglage permettent de charger la matrice identité, un exemple résolu ou une matrice volontairement singulière pour voir comment le calculateur traite chaque cas.

Limites et cas particuliers

Une matrice n’est inversible que si son déterminant est non nul. Si det(A) = 0, elle est singulière et le calculateur indique qu’elle n’a pas d’inverse au lieu de diviser par zéro. Ce calculateur prend uniquement en charge les matrices 2×2 et 3×3. Pour les matrices plus grandes ou une réduction de Gauss-Jordan plutôt que la méthode de l’adjugée, utilisez le calculateur de matrices général, qui prend aussi en charge l’addition, la multiplication, la forme échelonnée réduite (RREF), la décomposition LU et les valeurs propres.

❓

Questions

Questions fréquentes

6 questions

Quelle est la méthode la plus rapide pour inverser une matrice 2×2 ?+

Pour A = [[a, b], [c, d]], échangez a et d, changez le signe de b et c, puis divisez chaque élément par le déterminant ad − bc : A⁻¹ = (1/(ad−bc))·[[d, −b], [−c, a]]. Ce calculateur applique automatiquement ce raccourci aux matrices 2×2.

Que signifie « matrice singulière » ?+

Une matrice singulière a un déterminant nul, ce qui signifie que ses lignes (ou ses colonnes) sont linéairement dépendantes : une ligne peut s’écrire comme une combinaison des autres. Une matrice singulière n’a pas d’inverse ; A⁻¹ n’est donc pas définie.

Qu’est-ce que l’adjugée d’une matrice ?+

L’adjugée est la transposée de la matrice des cofacteurs. Chaque cofacteur est un déterminant de mineur affecté d’un signe. La division de l’adjugée par le déterminant donne l’inverse : A⁻¹ = adj(A)/det(A).

Comment fonctionne la vérification ?+

L’onglet Vérification multiplie la matrice d’origine A par l’inverse calculée A⁻¹. Si le produit est la matrice identité (des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs), l’inverse est confirmée.

Ce calculateur prend-il en charge les matrices de plus de 3×3 ?+

Non. Ce calculateur traite les matrices 2×2 et 3×3 avec la méthode de l’adjugée. Pour les matrices 4×4 ou plus grandes, utilisez le calculateur de matrices général, qui inverse les matrices par réduction de Gauss-Jordan.

Puis-je partager une matrice saisie ?+

Oui. Le calculateur encode la taille et les valeurs de la matrice dans l’URL. Copiez le lien de la barre d’adresse ou utilisez le bouton Partager pour permettre à quelqu’un d’ouvrir exactement la même matrice.

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Matrice inverse (A⁻¹)